Chủ đề 6. Phân số. Các bài toán về phân số_Dạng 3. Thực hiện phép tính

Lý thuyết

1. Phép cộng

Muốn cộng hai phân số cùng mẫu, ta cộng các tử và giữ nguyên mẫu.

$\frac{a}{m}+\frac{b}{m}=\frac{a+b}{m}$ $(m\ne 0)$

Muốn cộng hai phân số khác mẫu, ta viết chúng dưới dạng hai phân số cùng mẫu rồi cộng các tử với nhau và giữ nguyên mẫu chung.

* Tính chất:

    + Tính chất giao hoán: $\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{c}{d}+\frac{a}{b}$

    + Tính chất kết hợp:

$\left(\frac{a}{b}+\frac{c}{d}\right)+\frac{p}{q}=\frac{a}{b}+\left(\frac{c}{d}+\frac{p}{q}\right)$

+ Cộng với số $0$ : $\frac{a}{b}+0=0+\frac{a}{b}=\frac{a}{b}$

2. Phép trừ

- Muốn trừ hai phân số cùng mẫu ta lấy tử của phân số thứ nhất trừ đi tử của phân số thứ hai và giữ nguyên mẫu.

$\frac{a}{m}-\frac{b}{m}=\frac{a-b}{m}$

- Muốn trừ hai phân số khác mẫu, ta quy đồng hai phân số, rồi trừ hai phân số đó.

3. Phép nhân

+ Muốn nhân hai phân số, ta nhân các tử số với nhau và nhân các mẫu với nhau.

$\frac{a}{b}.\frac{c}{d}=\frac{a.c}{b.d}$

+ Muốn nhân một số nguyên với một phân số (hoặc một phân số với một số nguyên), ta nhân số nguyên với tử của phân số và giữ nguyên mẫu: $a.\frac{b}{c}=\frac{a.b}{c}.$

* Tính chất:

+ Tính chất giao hoán: $\frac{a}{b}.\frac{c}{d}=\frac{c}{d}.\frac{a}{b}$

+ Tính chất kết hợp: $\left(\frac{a}{b}.\frac{c}{d}\right).\frac{p}{q}=\frac{a}{b}.\left(\frac{c}{d}.\frac{p}{q}\right)$

+ Nhân với số $1$: $\frac{a}{b}.1=1.\frac{a}{b}=\frac{a}{b}$, nhân với số $0$: $\frac{a}{b}.0=0$

+ Tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng:

$\frac{a}{b}.\left(\frac{c}{d}+\frac{p}{q}\right)=\frac{a}{b}.\frac{c}{d}+\frac{a}{b}.\frac{p}{q}$

4. Phép chia

Muốn chia một phân số hay một số nguyên cho một phân số, ta nhân số bị chia với số nghịch đảo của số chia.

$\frac{a}{b}:\frac{c}{d}=\frac{a}{b}.\frac{d}{c}=\frac{a.d}{b.c}$

Chú ý: Thứ tự thực hiện phép tính như đối với số nguyên

Bài tập

Bài 1:

Tính:

a) $\frac{-2}{7}+\frac{-3}{5}.\frac{5}{-7}$

 Phương pháp

Thực hiện phép tính, chú ý thứ tự thực hiện phép tính

Lời giải

a)

$\begin{array}{c}\frac{-2}{7}+\frac{-3}{5}.\frac{5}{-7}\\ =\frac{-2}{7}+\frac{3}{7}\\ =\frac{1}{7}\end{array}$

b) $\frac{-2}{3}-\left(\frac{2}{5}+\frac{2}{7}\right):\frac{-48}{105}$

 Phương pháp

Thực hiện phép tính, chú ý thứ tự thực hiện phép tính

Lời giải

1. Phép cộng

Muốn cộng hai phân số cùng mẫu, ta cộng các tử và giữ nguyên mẫu.

$\frac{a}{m}+\frac{b}{m}=\frac{a+b}{m}$ $(m\ne 0)$

Muốn cộng hai phân số khác mẫu, ta viết chúng dưới dạng hai phân số cùng mẫu rồi cộng các tử với nhau và giữ nguyên mẫu chung.

* Tính chất:

    + Tính chất giao hoán: $\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{c}{d}+\frac{a}{b}$

    + Tính chất kết hợp:

$\left(\frac{a}{b}+\frac{c}{d}\right)+\frac{p}{q}=\frac{a}{b}+\left(\frac{c}{d}+\frac{p}{q}\right)$

+ Cộng với số $0$ : $\frac{a}{b}+0=0+\frac{a}{b}=\frac{a}{b}$

2. Phép trừ

- Muốn trừ hai phân số cùng mẫu ta lấy tử của phân số thứ nhất trừ đi tử của phân số thứ hai và giữ nguyên mẫu.

$\frac{a}{m}-\frac{b}{m}=\frac{a-b}{m}$

- Muốn trừ hai phân số khác mẫu, ta quy đồng hai phân số, rồi trừ hai phân số đó.

3. Phép nhân

+ Muốn nhân hai phân số, ta nhân các tử số với nhau và nhân các mẫu với nhau.

$\frac{a}{b}.\frac{c}{d}=\frac{a.c}{b.d}$

+ Muốn nhân một số nguyên với một phân số (hoặc một phân số với một số nguyên), ta nhân số nguyên với tử của phân số và giữ nguyên mẫu: $a.\frac{b}{c}=\frac{a.b}{c}.$

* Tính chất:

+ Tính chất giao hoán: $\frac{a}{b}.\frac{c}{d}=\frac{c}{d}.\frac{a}{b}$

+ Tính chất kết hợp: $\left(\frac{a}{b}.\frac{c}{d}\right).\frac{p}{q}=\frac{a}{b}.\left(\frac{c}{d}.\frac{p}{q}\right)$

+ Nhân với số $1$: $\frac{a}{b}.1=1.\frac{a}{b}=\frac{a}{b}$, nhân với số $0$: $\frac{a}{b}.0=0$

+ Tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng:

$\frac{a}{b}.\left(\frac{c}{d}+\frac{p}{q}\right)=\frac{a}{b}.\frac{c}{d}+\frac{a}{b}.\frac{p}{q}$

4. Phép chia

Muốn chia một phân số hay một số nguyên cho một phân số, ta nhân số bị chia với số nghịch đảo của số chia.

$\frac{a}{b}:\frac{c}{d}=\frac{a}{b}.\frac{d}{c}=\frac{a.d}{b.c}$

Chú ý: Thứ tự thực hiện phép tính như đối với số nguyên

Bài tập

Bài 1:

Tính:

a) $\frac{-2}{7}+\frac{-3}{5}.\frac{5}{-7}$

b) $\frac{-2}{3}-\left(\frac{2}{5}+\frac{2}{7}\right):\frac{-48}{105}$

BBB

Bài 2:

Tính giá trị biểu thức:

a) $A=\frac{-5}{13}-\frac{2}{23}.a+b^2$ tại $a=\frac{-46}{39};b=-\frac{3}{2}$

Phương pháp

Thay giá trị a và b vào từng biểu thức rồi tính.

Lời giải

a) Thay $a=\frac{-46}{39};b=-\frac{3}{2}$ vào biểu thức A, ta có:

$\begin{array}{c}A=\frac{-5}{13}-\frac{2}{23}.a+b^2\\ =\frac{-5}{13}-\frac{2}{23}.\frac{-46}{39}+{\left(\frac{-3}{2}\right)}^2\\ =\frac{-5}{13}-\frac{-2}{39}+\frac{9}{4}\\ =\frac{-5}{13}+\frac{2}{39}+\frac{9}{4}\\ =\frac{(-5).12}{156}+\frac{2.4}{39.4}+\frac{9.39}{4.39}\\ =\frac{-60}{156}+\frac{8}{156}+\frac{251}{156}\\ =\frac{199}{156}\end{array}$

Vậy $A=\frac{199}{156}$

b) $B=\left(\frac{2}{a}+\frac{b}{-5}.1\frac{3}{7}\right):\frac{3}{-7}$ tại $a=\frac{-2}{3};b=\frac{1}{2}$

Lời giải chi tiết:

Bài 1:

Tính:

a) $\frac{-2}{7}+\frac{-3}{5}.\frac{5}{-7}$

b) $\frac{-2}{3}-\left(\frac{2}{5}+\frac{2}{7}\right):\frac{-48}{105}$

Phương pháp

Thực hiện phép tính, chú ý thứ tự thực hiện phép tính

Lời giải

a)

$\begin{array}{c}\frac{-2}{7}+\frac{-3}{5}.\frac{5}{-7}\\ =\frac{-2}{7}+\frac{3}{7}\\ =\frac{1}{7}\end{array}$

b)

$\begin{array}{c}\frac{-2}{3}-\left(\frac{2}{5}+\frac{2}{7}\right):\frac{-48}{105}\\ =\frac{-2}{3}-\left(\frac{14}{35}+\frac{10}{35}\right):\frac{-48}{105}\\ =\frac{-2}{3}-\frac{24}{35}.\frac{-105}{48}\\ =\frac{-2}{3}+\frac{3}{2}\\ =\frac{-4}{6}+\frac{9}{6}\\ =\frac{5}{6}\end{array}$

Bài 2:

Tính giá trị biểu thức:

a) $A=\frac{-5}{13}-\frac{2}{23}.a+b^2$ tại $a=\frac{-46}{39};b=-\frac{3}{2}$

Phương pháp

Thay giá trị a và b vào từng biểu thức rồi tính.

Lời giải

a) Thay $a=\frac{-46}{39};b=-\frac{3}{2}$ vào biểu thức A, ta có:

$\begin{array}{c}A=\frac{-5}{13}-\frac{2}{23}.a+b^2\\ =\frac{-5}{13}-\frac{2}{23}.\frac{-46}{39}+{\left(\frac{-3}{2}\right)}^2\\ =\frac{-5}{13}-\frac{-2}{39}+\frac{9}{4}\\ =\frac{-5}{13}+\frac{2}{39}+\frac{9}{4}\\ =\frac{(-5).12}{156}+\frac{2.4}{39.4}+\frac{9.39}{4.39}\\ =\frac{-60}{156}+\frac{8}{156}+\frac{251}{156}\\ =\frac{199}{156}\end{array}$

Vậy $A=\frac{199}{156}$

b) $B=\left(\frac{2}{a}+\frac{b}{-5}.1\frac{3}{7}\right):\frac{3}{-7}$ tại $a=\frac{-2}{3};b=\frac{1}{2}$

Phương pháp

Thay giá trị a và b vào từng biểu thức rồi tính.

Lời giải

b) Thay $a=\frac{-2}{3};b=\frac{1}{2}$, ta có:

$\begin{array}{c}B=\left(\frac{2}{a}+\frac{b}{-5}.1\frac{3}{7}\right):\frac{3}{-7}\\ =\left(\frac{2}{\frac{-2}{3}}+\frac{\frac{1}{2}}{-5}.1\frac{3}{7}\right):\frac{3}{-7}\\ =\left(2:\frac{-2}{3}+\frac{1}{2}:(-5).\frac{10}{7}\right):\frac{3}{-7}\\ =\left(2.\frac{-3}{2}+\frac{1}{2}.\frac{-1}{5}.\frac{10}{7}\right).\frac{-7}{3}\\ =\left(-3+\frac{-1}{10}.\frac{10}{7}\right).\frac{-7}{3}\\ =\left(-3+\frac{-1}{7}\right).\frac{-7}{3}\\ =\left(\frac{-21}{7}+\frac{-1}{7}\right).\frac{-7}{3}\\ =\frac{-22}{7}.\frac{-7}{3}\\ =\frac{22}{3}\end{array}$

Vậy $B=\frac{22}{3}$