Lý thuyết Phương trình quy về phương trình bậc nhất một ẩn

 

Phương trình quy về phương trình bậc nhất một ẩn  

Lý thuyết Phương trình quy về
phương trình bậc nhất một ẩn

1. Phương trình tích

Muốn giải phương trình (a1x + b1)(a2x + b2) = 0, ta giải hai phương trình a1x + b1 = 0 và a2x + b2 = 0, rồi lấy tất cả các nghiệm của chúng.

Ví dụ 1.Giải các phương trình:

a) 5x(x – 11) = 0;

b) (x + 6)(3x – 1) = 0.

Hướng dẫn giải

a) Ta có 5x(x – 11) = 0

5x = 0 hoặc x – 11 = 0

x = 0 hoặc x = 11.

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x = 0 và x = 11.

b) Ta có (x + 6)(3x – 1) = 0

x + 6 = 0 hoặc 3x – 1 = 0

x = –6 hoặc 3x = 1

x = –6 hoặc $x=\frac{1}{3}.$

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x = –6 và $x=\frac{1}{3}.$

Chú ý: Trong nhiều trường hợp, để giải một phương trình, ta biến đổi để đưa phương trình đó về phương trình tích.

Ví dụ 2.Giải các phương trình:

a) x2 – 2x = 0;

b) (2x + 1)2 – 9x2 = 0.

Hướng dẫn giải

a) Ta có x2 – 2x = 0

x(x – 2) = 0

x = 0 hoặc x – 2 = 0

x = 0 hoặc x = 2.

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x = 0 và x = 2.

b) Ta có (2x + 1)2 – 9x2 = 0

(2x + 1)2 – (3x)2 = 0

(2x + 1 + 3x)(2x + 1 – 3x) = 0

(5x + 1)(–x + 1) = 0

5x + 1 = 0 hoặc –x + 1 = 0

5x = –1 hoặc –x = –1

$x=\frac{-1}{5}$hoặc x = 1.

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là $x=\frac{-1}{5}$và x = 1.

2. Phương trình chứa ẩn ở mẫu quy về phương trình bậc nhất

2.1. Điều kiện xác định của phương trình

Đối với phương trình chứa ẩn ở mẫu, điều kiện của ẩn để tất cả các mẫu thức trong phương trình đều khác 0 gọi là điều kiện xác định của phương trình.

Ví dụ 3. Tìm điều kiện xác định của mỗi phương trình sau:

$a)\frac{3x+1}{x-4}=2;$

$b)2-\frac{2-3x}{x+2}=\frac{1}{2x+1}.$

Hướng dẫn giải

a) Điều kiện xác định của phương trình là x – 4 ≠ 0 hay x ≠ 4.

b) Ta có x + 2 ≠ 0 khi x ≠ –2 và 2x + 1 ≠ 0 khi $x\ne \frac{-1}{2}.$

Vậy điều kiện xác định của phương trình là x ≠ –2 và $x\ne \frac{-1}{2}.$

Nhận xét: Những giá trị của ẩn không thỏa mãn điều kiện xác định không thể là nghiệm của phương trình.

2.2. Giải phương trình chứa ẩn ở mẫu

Các bước giải phương trình chứa ẩn ở mẫu

Bước 1. Tìm điều kiện xác định của phương trình.

Bước 2. Quy đồng mẫu thức hai vế của phương trình, rồi khử mẫu.

Bước 3. Giải phương trình vừa nhận được.

Bước 4. Xét mỗi giá trị tìm được ở Bước 3, giá trị nào thỏa mãn điều kiện xác định thì đó là nghiệm của phương trình đã cho.

Ví dụ 4.Giải các phương trình:

$a)2-\frac{x+1}{x}=\frac{x-5}{x-2};$

$b)\frac{3}{x-2}+\frac{2}{x+1}=\frac{2x+5}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)}$

Hướng dẫn giải

a) Điều kiện xác định: x ≠ 0 và x ≠ 2.

Ta có $2-\frac{x+1}{x}=\frac{x-5}{x-2}$

$\frac{2x\left(x-2\right)}{x\left(x-2\right)}-\frac{\left(x+1\right)\left(x-2\right)}{x\left(x-2\right)}=\frac{x\left(x-5\right)}{x\left(x-2\right)}$

2x(x – 2) – (x + 1)(x – 2) = x(x – 5)

2x2 – 4x – (x2 – x – 2) = x2 – 5x

2x2 – 4x – x2 + x + 2 = x2 – 5x

2x = –2

x = –1 (thỏa mãn điều kiện xác định)

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x = –1.

b) Điều kiện xác định: x ≠ 2 và x ≠ –1.

Ta có $\frac{3}{x-2}+\frac{2}{x+1}=\frac{2x+5}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)}$

$\frac{3\left(x+1\right)}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)}+\frac{2\left(x-2\right)}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)}=\frac{2x+5}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)}$

3(x + 1) + 2(x – 2) = 2x + 5

3x + 3 + 2x – 4 = 2x + 5

3x = 6

x = 2 (thỏa mãn điều kiện xác định)

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x = 2.

Bài tập Phương trình quy về
phương trình bậc nhất một ẩn

Bài 1. Giải các phương trình:

a) 4x(x + 2) = 0;

b) (2x – 8)(x – 7) = 0;

c) 3x – x2 = 0;

d) (x – 4)2 – 25x2 = 0.

Hướng dẫn giải

a) Ta có 4x(x + 2) = 0

4x = 0 hoặc x + 2 = 0

x = 0 hoặc x = –2.

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x = 0 và x = –2.

b) Ta có (2x – 8)(x – 7) = 0

2x – 8 = 0 hoặc x – 7 = 0

2x = 8 hoặc x = 7

x = 4 hoặc x = 7.

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x = 4 và x = 7.

c) Ta có 3x – x2 = 0

x(3 – x) = 0

x = 0 hoặc 3 – x = 0

x = 0 hoặc x = 3.

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x = 0 và x = 3.

d) Ta có (x – 3)2 – 16x2 = 0

(x – 3)2 – (4x)2 = 0

(x – 3 + 4x)(x – 3 – 4x) = 0

(5x – 3)(–3x – 3) = 0

5x – 3 = 0 hoặc –3x – 3 = 0

5x = 3 hoặc 3x = –3

$x=\frac{3}{5}$hoặc x = –1.

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là $x=\frac{3}{5}$và x = –1.

Bài 2. Tìm điều kiện xác định của mỗi phương trình sau:

a) $\frac{x+2}{4x-1}=1;$

b) $1-\frac{2}{x-3}=\frac{x+1}{2x-1}.$

Hướng dẫn giải

a) Điều kiện xác định của phương trình là 4x – 1 ≠ 0 hay $x\ne \frac{1}{4}.$

b) Ta có x – 3 ≠ 0 khi x ≠ 3 và 2x – 1 ≠ 0 khi $x\ne \frac{1}{2}.$

Vậy điều kiện xác định của phương trình là x ≠ 3 và $x\ne \frac{1}{2}.$

Bài 3. Giải các phương trình:

a) $\frac{2x}{x+2}-2=\frac{x}{x+2};$

b) $\frac{x-1}{x-3}-\frac{1}{x+3}=\frac{3x+3}{\left(x-3\right)\left(x+3\right)};$

c) $\frac{x-1}{x+2}-\frac{x}{x-2}=\frac{4-6x}{x^2-4}.$

Hướng dẫn giải

a) Điều kiện xác định: x + 2 ≠ 0 hay x ≠-2.

Ta có $\frac{2x}{x+2}-2=\frac{x}{x+2}$

$\frac{2x-2\left(x+2\right)}{x+2}=\frac{x}{x+2}$

2x – 2(x + 2) = x

2x – 2x – 4 = x

x = -4 (thỏa mãn điều kiện)

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x = –4.

b) Điều kiện xác định: x ≠ 3 và x ≠ –3.

Ta có $\frac{x-1}{x-3}-\frac{1}{x+3}=\frac{3x+3}{\left(x-3\right)\left(x+3\right)}$

$\frac{\left(x-1\right)\left(x+3\right)}{\left(x-3\right)\left(x+3\right)}-\frac{x-3}{\left(x-3\right)\left(x+3\right)}=\frac{3x+3}{\left(x-3\right)\left(x+3\right)}$

(x – 1)(x + 3) – (x – 3) = 3x + 3

x2 + 2x – 3 – x + 3 = 3x + 3

x2 + x = 3x + 3

x(x + 1) = 3(x + 1)

x(x + 1) -3(x + 1) = 0

(x + 1)(x -3) = 0

x + 1 = 0 hoặc x -3 = 0

x =-1 (thỏa mãn điều kiện) hoặc x = 3 (không thỏa mãn điều kiện).

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x = -1.

c) Điều kiện xác định: x ≠ 2 và x ≠ –2.

Ta có $\frac{x-1}{x+2}-\frac{x}{x-2}=\frac{4-6x}{x^2-4}$

$\frac{x-1}{x+2}-\frac{x}{x-2}=\frac{4-6x}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}$

$\frac{\left(x-1\right)\left(x-2\right)}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}-\frac{x\left(x+2\right)}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}=\frac{4-6x}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}$

$\frac{x^2-x-2x+2}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}-\frac{x^2+2x}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}=\frac{4-6x}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}$

$\frac{-5x+2}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}=\frac{4-6x}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}$

-5x + 2 = 4 - 6x

6x - 5x = 4 - 2

x = 2 (không thỏa mãn điều kiện xác định).

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.