C3 Bài 1: Căn bậc hai

 Khởi động trang 37 Toán 9 Tập 1: Hai bến thuyền A và B nằm sát con đường vuông góc với nhau cách chỗ giao nhau lần lượt là 2 km và 3 km (hình bên). Một ca nô chạy thẳng từ A đến B. Quãng đường ca nô đi được dài bao nhiêu kilômét?

Lời giải:

Sau bài học này ta giải quyết được bài toán như sau:

Gọi C là giao điểm của hai con đường.

Xét tam giác ABC vuông tại C, áp dụng định lí Pythagore, ta có:

AB2 = AC2 + BC2 = 22 + 32 = 13.

Suy ra $AB=\sqrt{13}$ km .

Vậy quãng đường ca nô đi được dài $\sqrt{13}$  kilômét.

1. Căn bậc hai

Thực hành 1 trang 38 Toán 9 Tập 1: Tìm các căn bậc hai của mỗi số sau:

a) 36;

b) $\frac{4}{49}$ ;

c) 1,44;

d) 0.

Lời giải:

a) Ta có 62 = 36, nên 64 có hai căn bậc hai là 8 và −8.

b) Ta có ${\left(\frac{2}{7}\right)}^2=\frac{4}{49}$ , nên $\frac{4}{49}$ có hai căn bậc hai là $\frac{2}{7}$  và - $\frac{2}{7}$.

c) Ta có 1,22 = 1,44, nên 1,2 có hai căn bậc hai là 1,2 và −1,2.

d) Ta có 02 = 0, nên 0 có một căn bậc hai là 0.

Thực hành 2 trang 38 Toán 9 Tập 1: Sử dụng dấu căn bậc hai để viết các căn bậc hai của mỗi số:

a) 11;

b) 2,5;

c) −0,09.

Lời giải:

a) Các căn bậc hai của 11 là $\sqrt{5}$ và - $\sqrt{5}$ .

b) Các căn bậc hai của 2,5 là $\sqrt{2,5}$  và -$\sqrt{2,5}$ .

c) Do −0,09 là số âm nên nó không tồn tại căn bậc hai.

Thực hành 3 trang 38 Toán 9 Tập 1: Tính:

a) $\sqrt{1600}$ ;

b) $\sqrt{0,81}$ ;

c) $\sqrt{\frac{9}{25}}$ .

Lời giải:

a) $\sqrt{1600}$ = $\sqrt{{40}^2}=40$;

b) $\sqrt{0,81}$ $=\sqrt{0,9^2}=0,9$;

c) $\sqrt{\frac{9}{25}}$= ${\sqrt{{\left(\frac{3}{5}\right)}^2}}^{}=\frac{3}{5}$

Thực hành 4 trang 39 Toán 9 Tập 1: Tính giá trị của các biểu thức:

a) ${\left(\sqrt{12}\right)}^2$;

b) ${\left(-\sqrt{0,36}\right)}^2$;

c) ${\left(\sqrt{5}\right)}^2+{\left(-\sqrt{1,21}\right)}^2$

Lời giải:

a) ${\left(\sqrt{12}\right)}^2$= 12

b) ${\left(-\sqrt{0,36}\right)}^2$= 0,36

c) ${\left(\sqrt{5}\right)}^2+{\left(-\sqrt{1,21}\right)}^2$ = 5+ 1,21 = 6,21

Vận dụng 1 trang 39 Toán 9 Tập 1: Biết rằng hình A và hình vuông B trong Hình 2 có diện tích bằng nhau. Tính độ dài cạnh x của hình vuông B.

Lời giải:

• Xét hình A:

Diện tích cả hình vuông cạnh 3 cm là: 3 . 3 = 9 (cm2).

Diện tích cả hình vuông cạnh $\sqrt{2}$  là: $\sqrt{2}.\sqrt{2}=2\left(c{m}^2\right)$ .

Do đó, diện tích hình A là: 9 – 2 = 7 (cm2).

• Xét hình B:

Hình vuông B bằng diện tích hình A là 7 cm2.

Do đó x.x = x2 = 7 suy ra x = $\sqrt{7}$ .

Vậy độ dài cạnh x của hình vuông B là $\sqrt{7}$ cm.

2.Tính căn bậc hai bằng máy tính cầm tay

Thực hành 5 trang 39 Toán 9 Tập 1: Sử dụng máy tính cầm tay, tính gần đúng các số sau (kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba):

a) $\sqrt{11}$ ;

b) $\sqrt{7,64}$ ;

c) $\sqrt{\frac{2}{3}}$ .

Lời giải:

a) Để tính $\sqrt{11}$ , ấn liên tiếp các nút: 

Ta được kết quả như hình bên dưới:

Vậy $\sqrt{11}\approx 3,317$  (kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba).

b) Để tính $\sqrt{7,64}$ ấn liên tiếp các nút:  

Ta được kết quả như hình bên dưới:

Vậy $\sqrt{7,64}\approx 2,764$ < (kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba).

c) Để tính $\sqrt{\frac{2}{3}}$ , ấn liên tiếp các nút:        

Ta được kết quả như hình bên dưới:

Vậy $\sqrt{\frac{2}{3}}\approx 0,816$  (kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba).

Thực hành 6 trang 39 Toán 9 Tập 1: Sử dụng máy tính cầm tay để:

 a) Tìm các căn bậc hai của 10,08 (kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ tư).

b) Tính giá trị của biểu thức $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$ (kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ năm).

Lời giải:

a) Để tính $\sqrt{10,08}$ , ấn liên tiếp các nút:            

Ta được kết quả như hình bên dưới:

Từ đó, ta có hai căn bậc hai của 10,08 là $\sqrt{10,08}\approx 3,1749$  và $-\sqrt{10,08}\approx -3,1749$  (kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ tư).

b) Để tính giá trị của biểu thức $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$ , ấn liên tiếp các nút:

Ta được kết quả như hình bên dưới:

Vậy $\frac{\sqrt{5}-1}{2}\approx 0,61803$  (kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ năm).

3. Căn thức bậc hai

Khám phá 2 trang 40 Toán 9 Tập 1: Một chiếc thang dài 5 m tựa vào bức tường như Hình 3.

a) Nếu chân thang cách chân tường x (m) thì đỉnh thang ở độ cao bao nhiêu so với chân tường?

b) Tính độ cao trên khi x nhận giá trị lần lượt là 1; 2; 3; 4.

Lời giải:

a) Gọi tam giác ABC như hình vẽ.

Trong thực tế bức tường vuông góc với mặt đất nên AB ⊥ AC.

Xét tam giác ABC vuông tại A, áp dụng định lí Pythagore, ta có:

BC2 = AB2 + AC2

 Suy ra AC2 = BC2 – AB2 = 52 – x2 = 25 – x2.

Do đó $AC=\sqrt{25-x^2}$(m) .

Vậy nếu chân thang cách chân tường x (m) thì đỉnh thang ở độ cao $\sqrt{25-x^2}$(m)  so với chân tường.

b) • Khi x = 1 thì độ cao đỉnh thang so với chân tường là: $\sqrt{25-1^2}=\sqrt{24}\left(m\right)$

• Khi x = 2 thì độ cao đỉnh thang so với chân tường là: $\sqrt{25-2^2}=\sqrt{25-4}=\sqrt{21}\left(m\right)$

• Khi x = 3 thì độ cao đỉnh thang so với chân tường là: $\sqrt{25-3^2}=\sqrt{25-9}=\sqrt{16}=4\left(m\right)$

• Khi x = 4 thì độ cao đỉnh thang so với chân tường là:$\sqrt{25-4^2}=\sqrt{25-16}=\sqrt{9}=3\left(m\right)$

Vậy x nhận giá trị lần lượt là 1; 2; 3; 4 thì độ cao đỉnh thang so với chân tường lần lượt là$\sqrt{24}m,\sqrt{21}m,4m,3m.$

Thực hành 7 trang 40 Toán 9 Tập 1: Với giá trị nào của x thì biểu thức $A=\sqrt{3x+6}$ xác định? Tính giá trị của A khi x = 5 (kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai)

Lời giải:

• Biểu thức A xác định khi 3x + 6 ≥ 0 nên 3x ≥ −6, suy ra x ≥ −2.

• Ta thấy x = 5 (thỏa mãn điều kiện xác định) và khi x = 5, ta có:

$A=\sqrt{3.5+6}=\sqrt{15+6}=\sqrt{21}\approx 4,58$

Vậy với x ≥ −2 biểu thức A xác định và khi x = 5 thì A ≈ 4,58.

Thực hành 8 trang 40 Toán 9 Tập 1: Cho biểu thức $P=\sqrt{a^2-b^2}$Tính giá trị của P khi:

a) a = 5, b = 0;

b) a = 5, b = −5;

c) a = 2, b = −4.

Lời giải:

a) Với a = 5, b = 0, ta có a2 – b2 = 52 – 02 = 25.

Khi đó, P = $\sqrt{25}=\sqrt{5^2}=5$

b) Với a = 5, b = −5, ta có a2 – b2 = 52 – (–5)2 = 25 – 25 = 0.

Khi đó, P = $\sqrt{0}$ = 0

c) Với a = 2, b = −4, ta có a2 – b2 = 22 – (–4)2 = 4 – 16 = –12.

Vì –12 < 0 nên biểu thức P không xác định tại a = 2, b = −4.

Vận dụng 2 trang 40 Toán 9 Tập 1: Một trạm phát sóng được đặt ở vị trí B cách đường tàu một khoảng AB = 300 m. Đầu tàu đang ở vị trí C, cách vị trí A một khoảng AC = x (m) (Hình 4).

a) Viết biểu thức (theo x) biểu thị khoảng cách từ trạm phát sóng đến đầu tàu.

b) Tính khoảng cách trên khi x = 400, x = 1 000 (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị của mét).

Lời giải:

a) Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác vuông ABC, ta có:

BC2 = AB2 + AC2 = 3002 + x2.

Suy ra BC =  $\sqrt{{300}^2+x^2}$(m)

Vậy biểu thức (theo x) biểu thị khoảng cách từ trạm phát sóng đến đầu tàu là $\sqrt{{300}^2+x^2}$

b) Thay x = 400 thì khoảng cách từ trạm phát sóng đến đầu tàu là:

$\sqrt{{300}^2+{400}^2}=\sqrt{250000}=500$(m)

Thay x = 1 000 thì khoảng cách từ trạm phát sóng đến đầu tàu là:

$\sqrt{{300}^2+1{000}^2}=\sqrt{1090000}\approx 1044\left(m\right)$

Bài tập

Bài 1 trang 41 Toán 9 Tập 1: Tìm các căn bậc hai của mỗi số sau:

a) 16;

b) 2 500;

c) $\frac{4}{81}$;

d) 0,09.

Lời giải:

a) Ta có 42 = 16, nên 16 có hai căn bậc hai là 4 và −4.

b) Ta có 502 = 2 500, nên 2 500 có hai căn bậc hai là 50 và −50.

c) Ta có ${\left(\frac{2}{9}\right)}^2=\frac{4}{81}$ , nên $\frac{4}{81}$  có hai căn bậc hai là $\frac{2}{9}$  và -$\frac{2}{9}$.

d) Ta có 0,32 = 0,09, nên 0,09 có hai căn bậc hai là 0,3 và −0,3.

Bài 2 trang 41 Toán 9 Tập 1: Tính:

a) $\sqrt{100}$ ;

b) $\sqrt{225}$ ;

c) $\sqrt{2,25}$ ;

d) $\sqrt{\frac{16}{225}}$ .

Lời giải:

a) $\sqrt{100}$= $\sqrt{{10}^2}=10$;

b) $\sqrt{225}$= $\sqrt{{15}^2}=15$;

c) $\sqrt{2,25}$= $\sqrt{{\left(1,5\right)}^2}$= 1,5;

d) $\sqrt{\frac{16}{225}}$= $\sqrt{{\left(\frac{4}{15}\right)}^2}=\frac{4}{15}$

Bài 3 trang 41 Toán 9 Tập 1: Biết rằng 252 = 625, tìm các căn bậc hai của các số 625 và 0,0625.

Lời giải:

Vì 252 = 625 nên 625 có hai căn bậc hai là 25 và –25.

Khi đó, 0,0625 có hai căn bậc hai là 0,25 và –0,25.

Bài 4 trang 41 Toán 9 Tập 1: Sử dụng máy tính cầm tay, tính (kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ tư):

a) $\sqrt{54}$ ;

b) $\sqrt{24,68}$ ;

c) $\sqrt{5}+\sqrt{6}+\sqrt{7}$.

Lời giải:

a) Để tính $\sqrt{54}$ , ấn liên tiếp các nút:      

Ta được kết quả như hình bên dưới:

Vậy $\sqrt{54}\approx 7,3485$  (kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ tư).

b) Để tính $\sqrt{24,68}$ , ấn liên tiếp các nút:            

Ta được kết quả như hình bên dưới:

Vậy $\sqrt{24,68}\approx 4,9679$  (kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ tư).

c) Để tính $\sqrt{5}+\sqrt{6}+\sqrt{7}$ , ấn liên tiếp các nút:

Ta được kết quả như hình bên dưới:

Vậy $\sqrt{5}+\sqrt{6}+\sqrt{7}\approx 7,3313$  (kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ tư).

Bài 5 trang 41 Toán 9 Tập 1: Tính giá trị của các biểu thức:

a) ${\left(\sqrt{5,25}\right)}^2+{(-\sqrt{1,75})}^2$ ;

b) ${\left(\sqrt{102}\right)}^2-\sqrt{{98}^2}$

Lời giải:

a) ${\left(\sqrt{5,25}\right)}^2+{(-\sqrt{1,75})}^2$ = 5, 25 + 1, 75 = 7

b) ${\left(\sqrt{102}\right)}^2-\sqrt{{98}^2}$= 102 - 98 = 4

Bài 6 trang 41 Toán 9 Tập 1: Tìm x, biết:

a) x2 = 121;

b) 4x2 = 9;

c) x2 = 10.

Lời giải:

a) x2 = 121

x2 = 112 = (−11)2

x = 11 hoặc x = −11.

Vậy x ∈ {−11; 11}.

b) 4x2 = 9

$x^2=\frac{9}{4}$

$x^2={\left(\frac{3}{2}\right)}^2={\left(-\frac{3}{2}\right)}^2$

x = $\frac{3}{2}$ hoặc x = - $\frac{3}{2}$ .

Vậy $x\in \left\{-\frac{3}{2};\frac{3}{2}\right\}$ .

c) x2 = 10

$x^2={\left(\sqrt{10}\right)}^2={\left(-\sqrt{10}\right)}^2$

x = $\sqrt{10}$ hoặc x = - $\sqrt{10}$ .

Vậy $x\in \left\{-\sqrt{10};\sqrt{10}\right\}$ .

Bài 7 trang 41 Toán 9 Tập 1: Tính giá trị của các biểu thức sau khi x = 16, y = 9:

Lời giải:

a) Thay x = 16, y = 9 vào biểu thức $\sqrt{x}+\sqrt{y}$ , ta có:

$\sqrt{16}+\sqrt{9}=\sqrt{4^2}+\sqrt{3^2}=4+3=7$

Vậy khi x = 16, y = 9 giá trị của các biểu thức bằng 7.

b) Thay x = 16, y = 9 vào biểu thức $\sqrt{x+y}$ , ta có:

$\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=\sqrt{5^2}=5$

Vậy khi x = 16, y = 9 giá trị của các biểu thức bằng 5.

c) Thay x = 16, y = 9 vào biểu thức $\frac{1}{2}\sqrt{xy}$ , ta có:

$\frac{1}{2}\sqrt{16.9}=\frac{1}{2}\sqrt{144}=\frac{1}{2}\sqrt{{12}^2}=\frac{1}{2}.12=6$

Vậy khi x = 16, y = 9 giá trị của các biểu thức bằng 6.

d) Thay x = 16, y = 9 vào biểu thức $\frac{1}{6}x\sqrt{y}$ , ta có:

$\frac{1}{6}16\sqrt{9}=\frac{1}{6}.16.3=\frac{8}{3}.3=8$

Vậy khi x = 16, y = 9 giá trị của các biểu thức bằng 8.

Bài 8 trang 41 Toán 9 Tập 1: Cho biểu thức $P=\sqrt{x^2-xy+1}$ Tính giá trị của P khi:

a) x = 3, y = −2;

b) x = 1, y = 4.

Lời giải:

a) Thay x = 3, y = −2 vào biểu thức P, ta có:

$\sqrt{3^2-3.(-2)+1}=\sqrt{9+6+1}=\sqrt{16}=\sqrt{4^2}=4$

Vậy khi x = 16, y = 9 giá trị của các biểu thức bằng 7.

b) Thay x = 16, y = 9 vào biểu thức $\sqrt{x+y}$ , ta có:

$\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=\sqrt{5^2}=5$

Vậy khi x = 16, y = 9 giá trị của các biểu thức bằng 5.

Bài 9 trang 41 Toán 9 Tập 1: Trên cần trục ở Hình 5, hai trụ a và b đứng cách nhau 20 m, hai xà ngang c và d lần lượt có độ cao 20 m và 45 m so với mặt đất. Xà chéo x có độ dài bao nhiêu mét (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)?

Lời giải:

Gọi các điểm A, B, C, D, E như trên hình vẽ.

Vì hai trụ a và b đứng cách nhau 20 m nên DE = BC = 20 m.

Vì xà ngang d có độ cao 45 m so với mặt đất nên AE = 45 m.

Suy ra AB = AE – BE = 45 – 20 = 25 (m).

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác ABC vuông tại B, ta có:

AC2 = AB2 + BC2 = 252 + 202 = 1025.

Suy ra x = AC = $\sqrt{1025}\approx 32\left(m\right)$

Vậy xà chéo x có độ dài khoảng 32 mét (làm tròn đến hàng đơn vị).