Tập xác định của phân thức

1. Công thức 

Điều kiện xác định của phân thức:

Phân thức $\frac{A}{B}$  có điều kiện xác định (B ≠ 0).

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Viết điều kiện xác định của các phân thức sau:

a) $\frac{2x}{x-9}$;         b) $\frac{-3xy}{5x\left(2-x\right)}$;         c) $\frac{\left(}{x^2-1}$;         d) $\frac{-\left(x+y\right)}{3x^2-6xy}$.

Hướng dẫn giải:

a) Điều kiện xác định của phân thức $\frac{2x}{x-9}$ là x – 9 ≠ 0 hay x ≠ 9.

b) Điều kiện xác định của phân thức $\frac{-3xy}{5x\left(2-x\right)}$ là 5x(2 – x) ≠ 0, tức là 5x ≠ 0 và 2 – x ≠ 0, hay x ≠ 0 và x ≠ 2.

c) Điều kiện xác định của phân thức $\frac{\left(}{x^2-1}$ là x(x3 + 1) ≠ 0.

Ta có: x3 + 1 = (x + 1)(x2 – x + 1).

Lại có $x^2-x+1={\left(x-\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{3}{4}>0$  với mọi x.

Do đó x(x3 + 1) ≠ 0 tức là x ≠ 0 và x + 1 ≠ 0, hay x ≠ 0 và x ≠ –1.

d) Điều kiện xác định của phân thức $\frac{-\left(x+y\right)}{3x^2-6xy}$ là 3x2 – 6xy ≠ 0.

Ta có: 3x2 – 6xy = 3x(x – 2y).

Do đó 3x2 – 6xy ≠ 0, tức là 3x(x – 2y) ≠ 0 hay 3x ≠ 0 và x – 2y ≠ 0, suy ra x ≠ 0 và x ≠ 2y.

Ví dụ 2. Cho phân thức $\frac{x^2-4x+4}{x^2-4}$ .

a) Viết điều kiện xác định của phân thức;              

b) Chứng tỏ rằng sau khi rút gọn phân thức đã cho được kết quả là $\frac{x-2}{x+2};$         

c) Tính giá trị của phân thức sau rút gọn tại x = 1; $x=-\frac{3}{2}$ .

Hướng dẫn giải:

a) Điều kiện xác định của phân thức $\frac{x^2-4x+4}{x^2-4}$  là x2 – 4 ≠ 0.

Ta có: x2 – 4 = (x – 2)(x + 2).

Do đó x2 – 4 ≠ 0 tức là x – 2 ≠ 0 và x + 2 ≠ 0 hay x ≠ 2 và x ≠ –2.

b) Với x ≠ 2 và x ≠ –2, ta có:

$\frac{x^2-4x+4}{x^2-4}=\frac{{\left(x-2\right)}^2}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}=\frac{\left(x-2\right)\left(x-2\right)}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}=\frac{x-2}{x+2}.$

Vậy sau khi rút gọn phân thức đã cho được kết quả là $\frac{x-2}{x+2}.$

c) Thay x = 1 (thỏa mãn điều kiện) vào phân thức đã được rút gọn, ta được $\frac{1-2}{1+2}=-\frac{1}{3}.$

Vậy giá trị của phân thức đó tại x = 1 là $-\frac{1}{3}$ .

Thay $x=-\frac{3}{2}$(thỏa mãn điều kiện) vào phân thức đã được rút gọn, ta được

$\frac{-\frac{3}{2}-2}{-\frac{3}{2}+2}=\frac{-\frac{7}{2}}{\frac{1}{2}}=-7.$

Vậy giá trị của phân thức đó tại x = 1 là –7.