Nhân, chia phân thức

 1. Công thức 

Quy tắc nhân hai phân thức:

$\frac{A}{B}\cdot \frac{C}{D}=\frac{A\cdot C}{B\cdot D}$ (với B, D ≠ 0).

– Phân thức $\frac{D}{C}$ là phân thức nghịch đảo của $\frac{C}{D}$. Ta có $\frac{C}{D}\cdot \frac{D}{C}=1.$

– Phép nhân phân thức có các tính chất:

+ Giao hoán: $\frac{A}{B}\cdot \frac{C}{D}=\frac{C}{D}\cdot \frac{A}{B}$ (với B, D ≠ 0).

+ Kết hợp: $\left(\frac{A}{B}\cdot \frac{C}{D}\right)\cdot \frac{E}{F}=\frac{A}{B}\cdot \left(\frac{C}{D}\cdot \frac{E}{F}\right)$ (với B, D, F ≠ 0).

+ Phân phối với phép cộng: $\frac{A}{B}\cdot \left(\frac{C}{D}+\frac{E}{F}\right)=\frac{A}{B}\cdot \frac{C}{D}+\frac{A}{B}\cdot \frac{E}{F}$  (với B, D, F ≠ 0).

Quy tắc chia của hai phân thức:

$\frac{A}{B}:\frac{C}{D}=\frac{A}{B}\cdot \frac{D}{C}=\frac{A\cdot D}{B\cdot C}$ (với B, D ≠ 0).

Chú ý: Sau khi thực hiện phép nhân và phép chia phân thức, ta rút gọn kết quả (nếu có).

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1.Với điều kiện các phân thức đều có nghĩa, thực hiện phép tính:

a) $\frac{2x^{2}y}{11y^2}\cdot \frac{121x{y}^3}{-6x^5}$ ;                               b) $\frac{x^3-8}{5x+20}\cdot \frac{x^2+4x}{x^2+2x+4}$ ;             

c) $\frac{x^3+1}{x-2}:\frac{x^2-x+1}{x^2-4}$ ;                            d) $\frac{x+1}{x+2}:\left(\frac{x+1}{x+3}\cdot \frac{x+3}{x+2}\right)$ .

Hướng dẫn giải:

a) $\frac{2x^{2}y}{11y^2}\cdot \frac{121x{y}^3}{-6x^5}=\frac{2x^{2}y\cdot 121x{y}^3}{11y^2\cdot \left(-6x^5\right)}=-\frac{11y^2}{3x^2}$ ;

b) $\frac{x^3-8}{5x+20}\cdot \frac{x^2+4x}{x^2+2x+4}=\frac{\left(x^3-8\right)\cdot \left(x^2+4x\right)}{\left(5x+20\right)\cdot \left(x^2+2x+4\right)}$

$=\frac{\left(x-2\right)\left(x^2+2x+4\right)\cdot x\left(x+4\right)}{5\left(x+4\right)\cdot \left(x^2+2x+4\right)}=\frac{x\left(x-2\right)}{5};$

c) $\frac{x^3+1}{x-2}:\frac{x^2-x+1}{x^2-4}=\frac{x^3+1}{x-2}\cdot \frac{x^2-4}{x^2-x+1}$

$=\frac{\left(x+1\right)\left(x^2-x+1\right)\cdot \left(x-2\right)\left(x+2\right)}{\left(x-2\right)\left(x^2-x+1\right)}=\left(x+1\right)\left(x+2\right)=x^2+3x+2$;

d) $\frac{x+1}{x+2}:\left(\frac{x+1}{x+3}\cdot \frac{x+3}{x+2}\right)=\frac{x+1}{x+2}:\frac{x+1}{x+2}=\frac{x+1}{x+2}\cdot \frac{x+2}{x+1}=1.$

Ví dụ 2. Cho hai phân thức $P=\frac{5x^2-10xy}{x-2y}$  và $Q=\frac{-5}{x+2y}$  với điều kiện hai phân thức có nghĩa.

a) Thực hiện phép nhân, chia hai phân thức.

b) Tìm phân thức nghịch đảo của hai phân thức vừa tìm được ở câu a).

Hướng dẫn giải:

a) Ta có

⦁ $P\cdot Q=\frac{5x^2-10xy}{x-2y}\cdot \frac{-5}{x+2y}$

$=\frac{\left(5x^2-10xy\right)\cdot \left(-5\right)}{\left(x-2y\right)\cdot \left(x+2y\right)}=\frac{-25x\left(x-2y\right)}{\left(x-2y\right)\left(x+2y\right)}=\frac{-25x}{x+2y}.$

⦁ $P:Q=\frac{5x^2-10xy}{x-2y}:\frac{-5}{x+2y}=\frac{5x^2-10xy}{x-2y}\cdot \frac{x+2y}{-5}$

$=\frac{\left(5x^2-10xy\right)\cdot \left(x+2y\right)}{\left(x-2y\right)\cdot \left(-5\right)}=\frac{5x\left(x-2y\right)\left(x+2y\right)}{-5\left(x-2y\right)}$

$=\frac{x\left(x+2y\right)}{-1}=-x^2-2xy.$

b) Phân thức nghịch đảo của $\frac{-25x}{x+2y}$  là $\frac{x+2y}{-25x};$

Phân thức nghịch đảo của –x2 – 2xy là $\frac{-1}{x^2+2xy}.$