Giải bài tập Toán lớp 8 Bài 5: Phân thức đại số

Giải Toán 8 trang 26 Tập 1

Khởi động trang 26 Toán 8 Tập 1: Một ô tô đi được quãng đường s (km) với tốc độ v (km/h) hết thời gian t (giờ).

Hãy lập các biểu thức tính một trong ba đại lượng s, v và t theo hai đại lượng còn lại.

Có phải tất cả các biểu thức đó đều là đa thức? Hãy giải thích.

Lời giải:

Ta lập được các biểu thức tính một trong ba đại lượng s, v và t theo hai đại lượng còn lại như sau: s = vt; v = $\frac{\mathrm{s}}{\mathrm{t}}$; t = $\frac{\mathrm{s}}{\mathrm{v}}$.

Trong ba biểu thức trên, chỉ có biểu thức s = vt là đa thức; hai biểu thức còn lại không phải là đa thức, vì hai biểu thức v = $\frac{\mathrm{s}}{\mathrm{t}}$ và t = $\frac{\mathrm{s}}{\mathrm{v}}$ có chứa phép chia giữa các biến.

1. Phân thức đại số

Khám phá 1 trang 26 Toán 8 Tập 1: a) Viết biểu thức biểu thị các đại lượng sau đây:

• Chiều rộng của hình chữ nhật có chiều dài bằng a (m) và diện tích bằng 3 m2.

• Thời gian để một người thợ làm được x sản phẩm, biết rằng mỗi giờ người thợ đó làm được y sản phẩm.

• Năng suất trung bình của một mảnh ruộng gồm hai thửa, một thửa có diện tích a (ha) cho thu hoạch được m tấn lúa, thửa kia có diện tích b (ha) cho thu hoạch n tấn lúa.

b) Các biểu thức trên có đặc điểm nào giống nhau? Chúng có phải là đa thức không?

Lời giải:

a)

• Biểu thức biểu thị chiều rộng của hình chữ nhật có chiều dài bằng a (m) và diện tích bằng 3 m2 là: $\frac{3}{\mathrm{a}}$ (m).

• Gọi t là thời gian để người thợ đó làm được x sản phẩm.

Vì thời gian làm việc và số sản phẩm làm được là hai đại lượng tỉ lệ thuận nên ta có:

$\frac{\mathrm{t}}{\mathrm{x}}$ = $\frac{1}{\mathrm{y}}$, suy ra t = $\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{y}}$ (giờ)

Vậy biểu thức biểu thị thời gian để người thợ đó làm được x sản phẩm là: $\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{y}}$ (giờ).

• Diện tích của mảnh ruộng là: a + b (ha).

Mảnh ruộng cho thu hoạch được số tấn lúa là: m + n (tấn lúa).

Biểu thức biểu thị năng suất trung bình của mảnh ruộng gồm hai thửa đó là: $\frac{\mathrm{a+b}}{\mathrm{m+n}}$ (tấn/ha).

b) Các biểu thức trên đều là biểu thức có dạng $\frac{\mathrm{A}}{\mathrm{B}}$, trong đó A, B là những đa thức và B khác đa thức không.

Do đó các biểu thức này không phải là đa thức.

Giải Toán 8 trang 27 Tập 1

Khám phá 2 trang 27 Toán 8 Tập 1: Cho biểu thức $P=\frac{x^2-1}{2x+1}$

a) Tính giá trị của biểu thức tại x = 0.

b) Tại -$\frac{1}{2}$ , giá trị của biểu thức có xác định không? Tại sao?

Lời giải:

a) Tại x = 0, ta có: $P=\frac{0^2-1}{2.0+1}=\frac{-1}{1}=-1$.

b) Tại ta có mẫu thức có giá trị là: .

Khi đó giá trị của biểu thức P không xác định.

Thực hành 1 trang 27 Toán 8 Tập 1: Tìm giá trị của phân thức:

a) $\frac{x^2-2x+1}{x+2}$ tại x = –3, x = 1;

b) $\frac{xy-3y^2}{x+y}$ tại x = 3, y = –1.

Lời giải:

a) Xét phân thức $\frac{x^2-2x+1}{x+2}$

Điều kiện xác định của phân thức trên là x + 2 ≠ 0, hay x ≠ ‒2.

• Khi x = –3 (điều kiện xác định được thỏa mãn), ta có:

$\frac{{\left(-3\right)}^2-2.\left(-3\right)+1}{\left(-3\right)+2}=\frac{9+6+1}{-1}=-16$ 

• Khi x = 1 (điều kiện xác định được thỏa mãn), ta có:

$\frac{1^2-2.1+1}{1+2}=\frac{1-2+1}{3}=0$.

b) Xét phân thức $\frac{xy-3y^2}{x+y}$

Điều kiện xác định của phân thức trên là x + y ≠ 0 (nghĩa là các giá trị của x và y thỏa mãn x + y ≠ 0).

Khi x = 3 và y = –1 thì x + y = 2 ≠ 0 nên điều kiện xác định được thỏa mãn.

Khi đó ta có: $\frac{3.\left(-1\right)-3.{\left(-1\right)}^2}{3+\left(-1\right)}=\frac{-3-3}{2}=-3$.

Thực hành 2 trang 27 Toán 8 Tập 1: Viết điều kiện xác định của mỗi phân thức:

a) $\frac{1}{a+4}$ ;

b) $\frac{x{y}^2}{x-2y}$ .

Lời giải:

a) Điều kiện xác định của phân thức $\frac{1}{a+4}$ là a + 4 ≠ 0 hay a ≠ ‒4.

b) Điều kiện xác định của phân thức $\frac{x{y}^2}{x-2y}$ là x – 2y ≠ 0 (nghĩa là tại các giá trị của x và y thỏa mãn x – 2y ≠ 0).

Vận dụng trang 27 Toán 8 Tập 1: Giá thành trung bình của một chiếc áo sơ mi được một xí nghiệp sản xuất cho bởi biểu thức $C\left(x\right)=\frac{0,0002x^2+120x+1000}{x}$ , trong đó x là số áo được sản xuất và C tính bằng nghìn đồng. Tính C khi x = 100, x = 1 000

Lời giải:

• Khi x = 100, thay vào biểu thức C(x) ta được:

$C\left(\mathrm{100}\right)=\frac{0,0002x^2+120x+1000}{x}$

$=\frac{2+12000+1000}{100}=\frac{13002}{100}=130,02$ (nghìn đồng).

• Khi x = 1000, thay vào biểu thức C(x) ta được:

$C\left(\mathrm{1000}\right)=\frac{0,0002x^2+120x+1000}{x}$

$=\frac{200+120000+1000}{1000}=\frac{121200}{1000}=121,2$ (nghìn đồng).

2. Hai phân thức bằng nhau

Giải Toán 8 trang 28 Tập 1

Khám phá 3 trang 28 Toán 8 Tập 1: Xét hai phân thức $M=\frac{x}{y}$ và $N=\frac{x^2-x}{xy-y}$

a) Tính giá trị của các phân thức trên khi x = 3, y = 2 và khi x = ‒1, y = 5.

Nêu nhận xét về giá trị của M và N khi cho x và y nhận những giá trị nào đó (y ≠ 0 và xy – y ≠ 0).

b) Nhân tử thức của phân thức này với mẫu thức của phân thức kia, rồi so sánh hai đa thức nhận được.

Lời giải:

a) • Khi x = 3 và y = 2 ta có: ;

$N=\frac{3^2-3}{3.2-2}=\frac{9-3}{6-2}=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}$                                               

• Khi x = ‒1 và y = 5 ta có: ;

 $N=\frac{{\left(-1\right)}^2-\left(-1\right)}{\left(-1\right).5-5}=\frac{1+1}{-5-5}=\frac{2}{-10}=\frac{-1}{5}$                                           .

Nhận xét: Giá trị của M và N bằng nhau khi cho x và y nhận những giá trị thỏa mãn y ≠ 0 và xy – y ≠ 0.

b) • Nhân tử thức của phân thức M với mẫu thức của phân thức N ta được:

x.(xy – y) = x2y – xy.

• Nhân tử thức của phân thức N với mẫu thức của phân thức M ta được:

(x2 – x).y = x2y – xy.

Ta thấy cả hai kết quả đều là đa thức x2y – xy nên hai đa thức nhận được bằng nhau.

Thực hành 3 trang 28 Toán 8 Tập 1: Mỗi cặp phân thức sau đây có bằng nhau không? Tại sao?

a) $\frac{x{y}^2}{xy+y}$ và $\frac{xy}{x+1}$;

b) $\frac{xy-x}{y}$ và $\frac{xy-y}{x}$

Lời giải:

a) Ta có: xy2.(x + 1) = x2y2 + xy2;

               (xy + y).xy = x2y2 + xy2.

Do đó xy2.(x + 1) = (xy + y).xy.

Vậy $\frac{x{y}^2}{xy+y}$ = $\frac{xy}{x+1}$.

b) Ta có: (xy – y).y = xy2 – y2;

                x.(xy – x) = x2y – x2.

Do đó (xy – y).y ≠ x.(xy – x)

Vậy hai phân thức $\frac{xy-x}{y}$ và $\frac{xy-y}{x}$ không bằng nhau.

3. Tính chất cơ bản của phân thức

Khám phá 4 trang 28 Toán 8 Tập 1: Xét các phân thức $P=\frac{x^{2}y}{x{y}^2}$, $Q=\frac{x}{y}$, $R=\frac{x^2+xy}{xy+y^2}$

a) Các phân thức trên có bằng nhau không? Tại sao?

b) Có thể biến đổi như thế nào để chuyển Q thành P và R thành Q?

Lời giải:

a) • Xét hai phân thức $P=\frac{x^{2}y}{x{y}^2}$ và $Q=\frac{x}{y}$ ta có:

x2y.y = x2y2;

xy2.x = x2y2.

Do đó x2y.y = xy2.x

Vậy $\frac{x^{2}y}{x{y}^2}$ = $\frac{x}{y}$ hay P = Q            (1)

• Xét hai phân thức $Q=\frac{x}{y}$ và $R=\frac{x^2+xy}{xy+y^2}$ ta có:

x.(xy + y2) = x2y + xy2;

y.(x2 + xy) = x2y + xy2.

Do đó x.(xy + y2) = y.(x2 + xy)

Vậy $\frac{x}{y}$ = $\frac{x^2+xy}{xy+y^2}$, hay Q = R      (2)

Từ (1) và (2) ta có P = Q = R.

Vậy các phân thức P, Q và Q bằng nhau.

b) • Ta nhân cả tử và mẫu của phân thức $Q=\frac{x}{y}$ với cùng đơn thức xy khác đa thức không thì được: .

• Ta có:$Q=\frac{x}{y}=\frac{x.xy}{y.xy}=\frac{x^{2}y}{x{y}^2}=P$

Ta chia cả tử và mẫu của phân thức R cho cùng nhân tử chung là (x + y) thì được:

$R=\frac{x^2+xy}{xy+y^2}=\frac{x\left(x+y\right)}{y\left(x+y\right)}=\frac{\left[x\left(x+y\right)\right]:\left(x+y\right)}{\left[y\left(x+y\right)\right]:\left(x+y\right)}=\frac{x}{y}$.

Giải Toán 8 trang 29 Tập 1

Thực hành 4 trang 29 Toán 8 Tập 1: Chứng tỏ hai phân thức $\frac{a^2-b^2}{a^{2}b+a{b}^2}$ và $\frac{a-b}{ab}$ bằng nhau theo hai cách khác nhau

Lời giải:

Cách 1:

Xét hai phân thức $\frac{a^2-b^2}{a^{2}b+a{b}^2}$ và $\frac{a-b}{ab}$ ta có:

(a2 – b2).ab = a3b – ab3;

(a2b + ab2)(a – b) = a3b – a2b2 + a2b2 – ab3 = a3b – ab3.

Do đó (a2 – b2).ab = (a2b + ab2)(a – b).

Vậy $\frac{a^2-b^2}{a^{2}b+a{b}^2}$ = $\frac{a-b}{ab}$.

Cách 2: Dùng tính chất cơ bản của phân thức

Ta có $\frac{a^2-b^2}{a^{2}b+a{b}^2}=\frac{\left(a+b\right)\left(a-b\right)}{ab\left(a+b\right)}=\frac{a-b}{ab}$.

Vậy $\frac{a^2-b^2}{a^{2}b+a{b}^2}$ = $\frac{a-b}{ab}$.

Giải Toán 8 trang 30 Tập 1

Thực hành 5 trang 30 Toán 8 Tập 1: Rút gọn các phân thức sau:

a) $\frac{3x^2+6xy}{6x^2}$;

b) $\frac{2x^2-x^3}{x^2-4}$;

c) $\frac{x+1}{x^3+1}$.

Lời giải:

a) $\frac{3x^2+6xy}{6x^2}=\frac{3x\left(x+2y\right)}{3x.2x}=\frac{x+2y}{2x}$;

b) $\frac{2x^2-x^3}{x^2-4}=\frac{-x^2\left(x-2\right)}{\left(x+2\right)\left(x-2\right)}=\frac{-x^2}{x+2}$;

c) $\frac{x+1}{x^3+1}=\frac{x+1}{\left(x+1\right)\left(x^2-x+1\right)}=\frac{1}{x^2-x+1}$.

Bài tập

Bài 1 trang 30 Toán 8 Tập 1: Trong các biểu thức sau, biểu thức nào là phân thức?

$\frac{3x+1}{2x-1}$;             2x2 – 5x + 3;                    $\frac{3x+1}{2x-1}$.

Lời giải:

Trong các biểu thức trên, $\frac{3x+1}{2x-1}$ và 2x2 – 5x + 3 là phân thức.

Biểu thức $\frac{3x+1}{2x-1}$ không phải là phân thức, vì $x+\sqrt{x}$ không phải là đa thức.

Bài 2 trang 30 Toán 8 Tập 1: Viết điều kiện xác định của các phân thức sau:

a) $\frac{4x-1}{x-6}$;

b) $\frac{x-10}{x+3y}$;

c) 3x2 – x + 7.

Lời giải:

a) Điều kiện xác định của phân thức $\frac{4x-1}{x-6}$ là x – 6 ≠ 0, hay x ≠ 6.

b) Điều kiện xác định của phân thức $\frac{x-10}{x+3y}$ là x + 3y ≠ 0 (nghĩa là tại các giá trị của x và y thỏa mãn x + 3y ≠ 0).

c) Phân thức 3x2 – x + 7 xác định với mọi giá trị x ∈ ℝ.

Bài 3 trang 30 Toán 8 Tập 1: Tìm giá trị của phân thức:

a) $A=\frac{3x^2+3x}{x^2+2x+1}$ tại x = ‒ 4;

b) $B=\frac{ab-b^2}{a^2-b^2}$ tại a = 4, b = ‒2.

Lời giải:

a) Xét phân thức $A=\frac{3x^2+3x}{x^2+2x+1}=\frac{3x\left(x+1\right)}{{\left(x+1\right)}^2}$

Điều kiện xác định của phân thức A là (x + 1)2 ≠ 0, hay x + 1 ≠ 0, do đó x ≠ –1.

Với điều kiện xác định x ≠ –1 thì $A=\frac{3x^2+3x}{x^2+2x+1}=\frac{3x\left(x+1\right)}{{\left(x+1\right)}^2}=\frac{3x}{x+1}$.

Tại x = ‒ 4 (điều kiện xác định được thỏa mãn), ta có:

$A=\frac{3.\left(-4\right)}{\left(-4\right)+1}=\frac{-12}{-3}=4$.

b) Xét phân thức $B=\frac{ab-b^2}{a^2-b^2}$.

Điều kiện xác định của phân thức B là a2 – b2 ≠ 0 (nghĩa là các giá trị của a và b thỏa mãn a2 – b2 ≠ 0).

Với điều kiện xác định trên thì $B=\frac{ab-b^2}{a^2-b^2}=\frac{b\left(a-b\right)}{\left(a+b\right)\left(a-b\right)}=\frac{b}{a+b}$.

Tại a = 4 và b = ‒2 thì a2 – b2 = 12 ≠ 0 nên điều kiện xác định được thỏa mãn.

Khi đó, $B=\frac{-2}{4+\left(-2\right)}=\frac{-2}{2}=-1$.

Bài 4 trang 30 Toán 8 Tập 1: Mỗi cặp phân thức sau có bằng nhau không? Tại sao?

a) $\frac{3ac}{a^{3}b}$ và $\frac{6c}{2a^{2}b}$;

b) $\frac{3ab-3b^2}{6b^2}$ và $\frac{a-b}{2b}$.

Lời giải:

a) Xét hai phân thức $\frac{3ac}{a^{3}b}$ và $\frac{6c}{2a^{2}b}$ ta có:

3ac.2a2b = 6a3bc;

a3b.6c = 6a3bc.

Do đó 3ac.2a2b = a3b.6c

Vậy $\frac{3ac}{a^{3}b}$ = $\frac{6c}{2a^{2}b}$.

b) Ta có: $\frac{3ab-3b^2}{6b^2}=\frac{3b\left(a-b\right)}{3b.2b}=\frac{a-b}{2b}$.

Vậy $\frac{3ab-3b^2}{6b^2}=\frac{a-b}{2b}$.

Bài 5 trang 30 Toán 8 Tập 1: Tìm đa thức thích hợp thay vào  trong các đẳng thức sau:

Lời giải:

a) Ta có $\frac{2x+1}{x-1}=\frac{\left(2x+1\right).\left(x+1\right)}{\left(x-1\right).\left(x+1\right)}=\frac{2x^2+2x+x+1}{x^2-1}=\frac{2x^2+3x+1}{x^2-1}$

Vậy đa thức thay vào  là: 2x2 + 3x + 1.

b) Ta có $\frac{x^2+2x}{x^3+8}=\frac{x\left(x+2\right)}{\left(x+2\right)\left(x^2-2x+4\right)}=\frac{x}{x^2-2x+4}$.

Vậy đa thức thay vào  là: x.

Bài 6 trang 30 Toán 8 Tập 1: Rút gọn các phân thức sau:

b) $\frac{3x^2-3x}{x-1}$;

c) $\frac{a{b}^2-a^{2}b}{2a^2+a}$;

d) $\frac{12\left(x^4-1\right)}{18\left(x^2-1\right)}$.

Lời giải:

a) $\frac{3x^{2}y}{2x{y}^5}=\frac{xy.3x}{xy.2y^4}=\frac{3x}{2y^4}$;

b) $\frac{3x^2-3x}{x-1}=\frac{3x\left(x-1\right)}{x-1}=\frac{3x}{1}=3x$;

c) $\frac{a{b}^2-a^{2}b}{2a^2+a}=\frac{a\left(b^2-ab\right)}{a\left(2a+1\right)}=\frac{b^2-ab}{2a+1}$;

d) $\frac{12\left(x^4-1\right)}{18\left(x^2-1\right)}=\frac{\mathrm{6.2.}\left(x^2+1\right)\left(x^2-1\right)}{\mathrm{6.3.}\left(x^2-1\right)}=\frac{2.\left(x^2+1\right)}{3}=\frac{2x^2+2}{3}$.

Video bài giảng Toán 8 Phân thức đại số - Chân trời sáng tạo