Giải bài tập Toán lớp 8 Bài 4: Phân tích đa thức thành nhân tử

Giải Toán 8 trang 23 Tập 1

Khởi động trang 23 Toán 8 Tập 1: Phát biểu của bạn nữ: “993 – 99 chia hết cho cả ba số 98, 99 và 100.”

Phát biểu của bạn nam: “Đúng rồi. Vì n3 – n chia hết cho n, n – 1 và n + 1 mà. (n là số tự nhiên, n > 1)”

Phát biểu của hai bạn có đúng không? Vì sao?

Lời giải:

Sau bài học này chúng ta sẽ giải quyết được câu hỏi trên như sau:

Ta có: 993 – 99 = 99.(992 – 1)

                          = 99.(992 – 12)

                          = 99.(99 – 1).(99 + 1)

                          = 99.98.100

Do đó 993 – 99 chia hết cho cả ba số 98, 99 và 100.

Ta có: n3 – n = n(n2 – 1)

                     = n.(n – 1).(n + 1)

Do đó n3 – n chia hết cho n, n – 1 và n + 1.

Vậy phát biểu của cả hai bạn đều đúng.

1. Phương pháp đặt nhân tử chung

Khám phá 1 trang 23 Toán 8 Tập 1: Tính diện tích của nền nhà có bản vẽ sơ lược như Hình 1 theo những cách khác nhau, biết a = 5; b = 3,5 (các kích thước tính theo mét).

Tính theo cách nào nhanh hơn?

Lời giải:

Cách 1: Tính tổng diện tích các hình.

Diện tích hình chữ nhật có chiều dài a (m) và chiều rộng b – 1 (m) là: a(b – 1) (m2).

Diện tích hình chữ nhật có chiều dài a (m) và chiều rộng b (m) là: ab (m2).

Diện tích hình chữ nhật có chiều dài a (m) và chiều rộng 4,5 (m) là: 4,5a (m2).

Diện tích của nền nhà là: S = a(b – 1) + ab + 4,5a (m2).

Với a = 5 và b = 3,5 ta có:

S = 5.(3,5 – 1) + 5.3,5 + 4,5.5

   = 5 . (3,5 – 1 + 3,5 + 4,5)

   = 5 . 10,5

   = 52,5 (m2).

Cách 2: Tính chiều dài của nền nhà rồi tính diện tích của nền nhà.

Chiều dài của nền nhà là:

    b – 1 + b + 4,5 = 2b + 3,5 (m).

Diện tích của nền nhà là: S = a.(2b + 3,5) (m2).

    Với a = 5 và b = 3,5 ta có:

S = 5.(2.3,5 + 3,5) = 5 . 10,5 = 52,5 (m2).

Chú ý: Ngoài 2 cách trên ta có thể tính diện tích của nền nhà theo cách khác.

Trong tất cả các cách thì ta thấy Cách 2 là nhanh nhất.

Giải Toán 8 trang 24 Tập 1

Thực hành 1 trang 24 Toán 8 Tập 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

    a) P = 6x – 2x3;

    b) Q = 5x3 – 15x2y;

    c) R = 3x3y3 – 6xy3z + xy.

Lời giải:

a) P = 6x – 2x3

       = 2x.3 – 2x.x2

       = 2x(3 – x2).

b) Q = 5x3 – 15x2y

       = 5x2.x – 5x2.3y

       = 5x2(x – 3y).

c) R = 3x3y3 – 6xy3z + xy

       = xy.3x2y2 – xy.6y2z + xy.1

       = xy(3x2y2 – 6y2z + 1).

2. Phương pháp sử dụng hằng đẳng thức

Khám phá 2 trang 24 Toán 8 Tập 1: Tìm biểu thức thích hợp thay vào mỗi chỗ , từ đó hoàn thành biến đổi sau vào vở để phân tích đa thức sau thành nhân tử:....

a) $4x^2-9={\left(?\right)}^2-{\left(?\right)}^2=\mathrm{...}$

b) $x^2{y}^2-\frac{1}{4}{y}^2={\left(?\right)}^2-{\left(?\right)}^2=\mathrm{...}$

Lời giải:

    a) $4x^2-9={\left(2x\right)}^2-{\left(3\right)}^2=\left(2x-3\right)\left(2x+3\right)$

    b) $x^2{y}^2-\frac{1}{4}{y}^2={\left(xy\right)}^2-{\left(\frac{1}{2}y\right)}^2=\left(xy-\frac{1}{2}y\right)\left(xy+\frac{1}{2}y\right)$

Thực hành 2 trang 24 Toán 8 Tập 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

    a) 9x2 – 16;

    b) 4x2 – 12xy + 9y2;

    c) t3 – 8;

    d) 2ax3y3 + 2a.

Lời giải:

a) 9x2 – 16 = (3x)2 – 42

                  = (3x – 4)(3x + 4).

b) 4x2 – 12xy + 9y2

    = (2x)2 – 2.2x.3y + (3y)2

    = (2x – 3y)2.

c) t3 – 8 = t3 – 23

              = (t – 2)(t2 + t.2 + 22)

             = (t – 2)(t2 – 2t + 4).

d) 2ax3y3 + 2a

    = 2a.(x3y3 + 1)

    = 2a.[(xy)3 + 13]

= 2a(xy + 1)[(xy)2 – xy.1 + 12]

    = 2a(xy + 1)(x2y2 – xy + 1).

Vận dụng 2 trang 24 Toán 8 Tập 1: Giải đáp câu hỏi ở Hoạt động khởi động (trang 23)

Lời giải:

Ta có: 993 – 99 = 99.(992 – 1)

                          = 99.(992 – 12)

                          = 99.(99 – 1).(99 + 1)

                          = 99.98.100

Do đó 993 – 99 chia hết cho cả ba số 98, 99 và 100.

Ta có: n3 – n = n(n2 – 1)

                     = n.(n – 1).(n + 1)

Do đó n3 – n chia hết cho n, n – 1 và n + 1.

Vậy phát biểu của cả hai bạn đều đúng.

3. Phương pháp nhóm hạng tử

Khám phá 3 trang 24 Toán 8 Tập 1: Hãy hoàn thành biến đổi sau vào vở để phân tích đa thức thành nhân tử:

a2 + ab + 2a + 2b = (a2 + ab) + (2a + 2b) = …

Em có thể biến đổi theo cách khác để phân tích đa thức trên thành nhân tử không?

Lời giải:

a2 + ab + 2a + 2b

    = (a2 + ab) + (2a + 2b)

    = a(a + b) + 2(a + b)

    = (a + b)(a + 2).

Ta có thể biến đổi theo cách khác như sau:

a2 + ab + 2a + 2b

= (a2 + 2a) + (ab + 2b)

= a(a + 2) + b(a + 2)

= (a + 2)(a + b).

Thực hành 3 trang 25 Toán 8 Tập 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) a3 – a2b + a – b;

b) x2 – y2 + 2y – 1.

Lời giải:

a) a3 – a2b + a – b

    = (a3 – a2b) + (a – b)

    = a2(a – b) + (a – b)

    = (a – b)(a2 + 1).

b) x2 – y2 + 2y – 1

    = x2 – (y2 – 2y + 1)

    = x2 – (y – 1)2

    = (x + y – 1).[x – (y – 1)]

    = (x + y – 1)(x – y + 1).

Vận dụng 3 trang 25 Toán 8 Tập 1: Có thể ghép bốn tấm pin mặt trời với kích thước như Hình 2 thành một hình chữ nhật không? Nếu có, tính độ dài các cạnh và diện tích hình chữ nhật đó. Biết a = 0,8; b = 2 (các kích thước tính theo mét).

Lời giải:

Diện tích tấm pin hình vuông có cạnh bằng a là: a2 (m2).

Diện tích tấm pin hình chữ nhật có chiều dài bằng 1 và chiều rộng bằng a là: a.1 = a (m2).

Diện tích tấm pin hình chữ nhật có chiều dài bằng b và chiều rộng bằng a là: ab (m2).

Diện tích tấm pin hình chữ nhật có chiều dài bằng b và chiều rộng bằng 1 là: b.1 = b (m2).

Tổng diện tích bốn tấm pin mặt trời là:

S = a2 + a + ab + b = (a2 + a) + (ab + b)

                               = a(a + 1) + b(a + 1)

                               = (a + 1)(a + b) (m2).

Vậy có thể ghép bốn tấm pin mặt trời với kích thước như Hình 2 thành một hình chữ nhật có chiều rộng là a + 1 (m) và chiều dài là a + b (m).

Với a = 0,8 (m) và b = 2 (m) ta có:

• Chiều rộng hình chữ nhật đó là 0,8 + 1 = 1,8 (m).

• Chiều dài hình chữ nhật đó là 0,8 + 2 = 2,8 (m).

• Diện tích hình chữ nhật đó là: 1,8 . 2,8 = 5,04 (m2).

Bài tập

Bài 1 trang 25 Toán 8 Tập 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

    a) x3 + 4x;

    b) 6ab – 9ab2;

    c) 2a(x – 1) + 3b(1 – x);

    d) (x – y)2 – x(y – x).

Lời giải:

a) x3 + 4x = x.x2 + x.4 = x(x2 + 4).

b) 6ab – 9ab2 = 3ab.2 – 3ab.3b = 3ab(2 – 3b).

c) 2a(x – 1) + 3b(1 – x)

    = 2a(x – 1) + 3b[– (x – 1)]

    = 2a(x – 1) – 3b(x – 1)

    = (x – 1)(2a – 3b).

d) (x – y)2 – x(y – x)

    = (x – y)2 + x(x – y)

    = (x – y)(x – y + x)

    = (x – y)(2x – y).

Bài 2 trang 25 Toán 8 Tập 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) 4x2 – 1;

b) (x + 2)2 – 9;

c) (a + b)2 – (a – 2b)2.

Lời giải:

a) 4x2 – 1 = (2x)2 – 12 = (2x + 1)(2x –1).

b) (x + 2)2 – 9 = (x + 2)2 – 32

                       = (x + 2 + 3)(x + 2 – 3)

                       = (x + 5)(x – 1).

c) (a + b)2 – (a – 2b)2

    = [(a + b) + (a – 2b)] . [(a + b) – (a – 2b)]

    = [a + b + a – 2b] . [a + b – a + 2b]

    = (2a – b).3b.

Bài 3 trang 25 Toán 8 Tập 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) 4a2 + 4a + 1;

b) –3x2 + 6xy – 3y2;

c) (x + y)2 – 2(x + y)z + z2.

Lời giải:

a) 4a2 + 4a + 1

    = (2a)2 + 2.2a.1 + 12

    = (2a + 1)2.

b) –3x2 + 6xy – 3y2

    = –3(x2 – 2xy + y2)

    = –3(x – y)2.

c) (x + y)2 – 2(x + y)z + z2

    = [(x + y) – z]2

    = (x + y – z)2.

Bài 4 trang 25 Toán 8 Tập 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) 8x3 – 1;

b) x3 + 27y3;

c) x3 – y6.

Lời giải:

a) 8x3 – 1

    = (2x)3 – 13

    = (2x – 1)[(2x)2 + 2x.1 + 12]

    = (2x – 1)(4x2 + 2x + 1).

b) x3 + 27y3

= x3 + (3y)3

= (x + 3y)[x2 – x.3y + (3y)2]

= (x + 3y)(x2 – 3xy + 9y2).

c) x3 – y6

    = x3 – (y2)3

    = (x – y2)[x2 + x.y2 + (y2)2]

    = (x – y2)(x2 + xy2 + y4).

Bài 5 trang 25 Toán 8 Tập 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

    a) 4x3 – 16x;

    b) x4 – y4;

    c) xy2 + x2y + $\frac{1}{4}$y3;

    d) x2 + 2x – y2 + 1.

Lời giải:

a) 4x3 – 16x

    = 4x(x2 – 4)

    = 4x(x2 – 22)

    = 4x(x + 2)(x – 2).

b) x4 – y4

    = (x2)2 – (y2)2

    = (x2 + y2)(x2 – y2)

    = (x2 + y2)(x + y)(x – y).

c) xy2 + x2y + $\frac{1}{4}$y3

    = y(xy + x2 + $\frac{1}{4}$y2)

$=y\left[x^2+2.x.\frac{1}{2}y+{\left(\frac{1}{2}y\right)}^2\right]$

$=y{\left(x+\frac{1}{2}y\right)}^2$.

d) x2 + 2x – y2 + 1

= (x2 + 2x + 1) – y2

    = (x + 1)2 – y2

    = (x + 1 + y)(x + 1 – y).

Bài 6 trang 25 Toán 8 Tập 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) x2 – xy + x – y;

b) x2 + 2xy – 4x – 8y;

c) x3 – x2 – x + 1.

Lời giải:

a) x2 – xy + x – y

    = (x2 – xy) + (x – y)

    = x(x – y) + (x – y)

    = (x – y)(x + 1).

b) x2 + 2xy – 4x – 8y

    = (x2 + 2xy) – (4x + 8y)

    = x(x +  2y) – 4(x + 2y)

    = (x +  2y)(x – 4).

c) x3 – x2 – x + 1

    = (x3 – x2) – (x – 1)

    = x2(x – 1) – (x – 1)

    = (x – 1)(x2 – 1)

    = (x – 1)(x + 1)(x – 1)

    = (x – 1)2(x + 1).

Bài 7 trang 25 Toán 8 Tập 1: Cho y > 0. Tìm độ dài cạnh của hình vuông có diện tích bằng 49y2 + 28y + 4.

Lời giải:

Giả sử hình vuông có độ dài cạnh bằng a (a > 0), khi đó diện tích của hình vuông là a2.

Tức là 49y2 + 28y + 4 = a2.

Ta phân tích đa thức 49y2 + 28y + 4 thành nhân tử có dạng a2.

49y2 + 28y + 4

    = (7y)2 + 2.7y.2 + 22

    = (7y + 2)2

Video bài giảng Toán 8 Bài 4: Phân tích đa thức thành nhân tử - Chân trời sáng tạo