Khởi động trang 18 Toán 8 Tập 1: Hãy tính nhanh:
652 – 352 = ?
102 . 98 = ?
Bạn nữ: “Đáp số là 3 000 và 9 996”.
Bạn nam: “Trời! Bạn làm thế nào mà nhanh vậy?”
Lời giải:
Sau bài học này chúng ta sẽ giải quyết được câu hỏi trên như sau:
652 – 352 = (65 + 35) . (65 – 35) = 100 . 30 = 3 000.
102 . 98 = (100 + 2) . (100 – 2) = 1002 – 22 = 10 000 – 4 = 9 996.
1. Bình phương của một tổng, một hiệu
An: S = (a + b)2.
Mai: S = a2 + b2 + ab + ba.
Bình: S = a2 + 2ab + b2.
Kết quả của mỗi bạn có đúng không? Giải thích.
b) Thực hiện phép nhân và rút gọn đa thức của bạn An.
c) Bằng cách làm tương tự ở câu b), có thể biến đổi biểu thức (a − b)2 thành biểu thức nào?
Lời giải:
a) Ta xét các cách tính diện tích của các phần tô màu trong Hình 1 như sau:
Cách 1: Tính diện tích của hình vuông được ghép bởi 4 hình:
Cạnh của hình vuông ABCD được tạo thành là: a + b.
Diện tích S của các phần tô màu chính là diện tích của hình vuông ABCD, và bằng:
S = (a + b)2 .
Do đó kết quả của bạn An là đúng.
Cách 2: Tính diện tích mỗi hình:
Diện tích hình vuông màu vàng AEHG là: a2.
Diện tích hình vuông màu xanh HICK là: b2.
Diện tích hình chữ nhật màu hồng EBIH là: ab.
Diện tích hình chữ nhật màu hồng GHKD là: ba.
Diện tích S của các phần tô màu là: a2 + b2 + ab + ba.
Do đó kết quả của bạn Mai là đúng.
Cách 3: Tính tổng diện tích hai hình chữ nhật ABIG và GICD (hình vẽ dưới đây).
Diện tích hình chữ nhật ABIG là: a.(a + b) = a.a + a.b = a2 + ab.
Diện tích hình chữ nhật GICD là: (a + b).b = a.b + b.b = ab + b2.
Diện tích S của các phần tô màu là: a2 + ab + ab + b2 = a2 + 2ab + b2.
Vậy kết quả của bạn Bình là đúng.
Lưu ý: Có nhiều cách tính diện tích S của các phần tô màu để khẳng định kết quả của cả ba bạn đều đúng.
b) Ta có: S = (a + b)2
= (a + b).(a + b)
= a.(a + b) + b.(a + b)
= a.a + a.b + b.a + b.b
= a2 + 2ab + b2.
c) Ta có: (a – b)2
= (a – b).(a – b)
= a.(a – b) – b.(a – b)
= a.a – a.b – b.a + b.b
= a2 – 2ab + b2.
Thực hành 1 trang 19 Toán 8 Tập 1: Viết các biểu thức sau thành đa thức:
a) (3x + 1)2;
b) (4x + 5y)2;
c) ;
d) (–x + 2y2)2.
Lời giải:
a) (3x + 1)2
= (3x)2 + 2.3x.1 + 12
= 9x2 + 6x + 1.
b) (4x + 5y)2
= (4x)2 + 2.4x.5y + (5y)2
= 16x2 + 40xy + 25y2.
c)
.
d) (–x + 2y2)2
= (–x)2 + 2.(–x).2y2 + (2y2)2
= x2 – 4xy2 + 4y4.
a) a2 + 10ab + 25b2;
b) 1 + 9a2 – 6a.
Lời giải:
a) a2 + 10ab + 25b2
= a2 + 2.a.5b + (5b)2
= (a + 5b)2.
b) 1 + 9a2 – 6a
= 1 – 6a + 9a2
= 12 – 2.1.3a + (3a)2
= (1 – 3a)2.
Hoặc ta có thể viết như sau:
1 + 9a2 – 6a
= 9a2 – 6a + 1
= (3a)2 – 2.3a.1 + 12
= (3a – 1)2.
Thực hành 3 trang 19 Toán 8 Tập 1: Tính nhanh:
a) 522;
b) 982.
Lời giải:
a) 522 = (50 + 2)2 = 502 + 2.50.2 + 22 = 2 500 + 200 + 4 = 2 704.
b) 982 = (100 – 2)2 = 1002 – 2.100.2 + 22 = 10 000 – 400 + 4 = 9 604.
b) Một mảnh vườn hình vuông sau khi mở rộng mỗi cạnh 5 m thì được một mảnh vườn hình vuông với cạnh là x (m) như Hình 2b. Viết biểu thức (dạng đa thức thu gọn) biểu thị diện tích mảnh vườn trước khi mở rộng.
Lời giải:
a) Mảnh vườn hình vuông có cạnh 10 m được mở rộng cả hai cạnh thêm x (m) nên mảnh vườn lúc này có dạng hình vuông với độ dài cạnh là 10 + x (m).
Diện tích mảnh vườn sau khi mở rộng là:
(10 + x)2 = 102 + 2.10.x + x2 = 100 + 20x + x2 (m2).
Vậy biểu thức biểu thị diện tích mảnh vườn sau khi mở rộng là 100 + 20x + x2 (m2).
b) Mảnh vườn hình vuông trước khi mở rộng có độ dài cạnh là: x – 5 (m).
Diện tích mảnh vườn hình vuông trước khi mở rộng là:
(x – 5)2 = x2 – 2.x.5 + 52 = x2 – 10x + 25 (m2).
Vậy biểu thức biểu thị diện tích mảnh vườn trước khi mở rộng là x2 – 10x + 25 (m2).
2. Hiệu của hai bình phương
b) Thực hiện phép nhân và rút gọn đa thức, biến đổi biểu thức (a + b)(a – b) thành một đa thức thu gọn. Từ đó, có kết luận gì về diện tích của hai hình bên?
Lời giải:
a) Ta đặt tên các điểm trên Hình 3 như hình vẽ dưới đây.
• Diện tích hình vuông ABCD là: a2.
Diện tích hình vuông EGHD là: b2.
Diện tích phần tô màu ở Hình 3a là: a2 – b2.
• Chiều dài của hình chữ nhật trong Hình 3b là: a + b.
Chiều rộng của hình chữ nhật trong Hình 3b là: a – b.
Diện tích hình chữ nhật (phần tô màu) trong Hình 3b là: (a + b)(a – b).
b) Ta có:
(a + b)(a – b) = a.(a – b) + b.(a – b) = a.a – ab + ba – b.b = a2 – b2.
Vậy diện tích của hai hình trong Hình 3a và Hình 3b trùng nhau.
Thực hành 4 trang 20 Toán 8 Tập 1: Thực hiện các phép nhân:
a) (4 – x)(4 + x);
b) (2y + 7z)(2y – 7z);
c) (x + 2y2)(x – 2y2).
Lời giải:
a) (4 – x).(4 + x) = 42 – x2 = 16 – x2.
b) (2y + 7z).(2y – 7z) = (2y)2 – (7z)2 = 4y2 – 49z2.
c) (x + 2y2).(x – 2y2) = x2 – (2y2)2 = x2 – 4y4.
Thực hành 5 trang 20 Toán 8 Tập 1: Tính nhanh:
a) 82 . 78;
b) 87 . 93;
c) 1252 – 252.
Lời giải:
a) 82 . 78 = (80 + 2).(80 – 2) = 802 – 22 = 6 400 – 4 = 6 396.
b) 87 . 93 = (90 – 3).(90 + 3) = 902 – 32 = 8 100 – 9 = 8 091.
c) 1252 – 252 = (125 + 25).(125 – 25) = 150 . 100 = 15 000.
Vận dụng 2 trang 20 Toán 8 Tập 1: Giải đáp câu hỏi ở Hoạt động khởi động (trang 18).
Lời giải:
Ta tính nhanh các phép tính như sau:
652 – 352 = (65 + 35) . (65 – 35) = 100 . 30 = 3 000.
102 . 98 = (100 + 2) . (100 – 2) = 1002 – 22 = 10 000 – 4 = 9 996.
3. Lập phương của một tổng, một hiệu
(a + b)3 = (a + b)(a + b)2
= (a + b)(…)
= …
(a – b)3 = (a – b)(a – b)2
= (a – b)(…)
= …
Lời giải:
(a + b)3 = (a + b)(a + b)2
= (a + b)(a2 + 2ab + b2)
= a(a2 + 2ab + b2) + b(a2 + 2ab + b2)
= a.a2 + a.2ab + a.b2 + b.a2 + b.2ab + b.b2
= a3 + 2a2b + ab2 + a2b + 2ab2 + b3
= a3 + (2a2b + a2b) + (ab2 + 2ab2) + b3
= a3 + 3a2b + 3ab2 + b3.
(a – b)3 = (a – b)(a – b)2
= (a – b)(a2 – 2ab + b2)
= a(a2 – 2ab + b2) – b(a2 – 2ab + b2)
= a.a2 – a.2ab + a.b2 – b.a2 + b.2ab – b.b2
= a3 – 2a2b + ab2 – a2b + 2ab2 – b3
= a3 – (2a2b + a2b) + (ab2 + 2ab2) – b3
= a3 – 3a2b + 3ab2 – b3.
Thực hành 6 trang 21 Toán 8 Tập 1: Tính:
a) (x + 2y)3;
b) (3y – 1)3.
Lời giải:
a) (x + 2y)3
= x3 + 3.x2.2y + 3.x.(2y)2 + (2y)3
= x3 + 6x2y + 12xy2 + 8y3.
b) (3y – 1)3
= (3y)3 – 3.(3y)2.1 + 3.3y.12 – 13
= 27y3 – 27y2 + 9y – 1.
Lời giải:
Phần lòng trong của thùng chứa có dạnh hình lập phương với độ dài cạnh là x – 3 – 3 = x – 6 (cm).
Thể tích phần lòng trong của thùng là:
(x – 6)3 = x3 – 3.x2.6 + 3.x.62 – 63
= x3 – 18x2 + 108x – 216 (cm3).
Vậy dung tích (sức chứa) của thùng là x3 – 18x2 + 108x – 216 (cm3).
4. Tổng và hiệu của hai lập phương
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
a3 + b3 = (a + b)3 – 3a2b – 3ab2
= (a + b)3 – 3ab(a + b)
= (a + b)(…)
= …
(a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3
a3 – b3 = (a – b)3 + 3a2b – 3ab2
= (a – b)3 + 3ab(a – b)
= (a – b)(…)
= …
Lời giải:
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
a3 + b3 = (a + b)3 – 3a2b – 3ab2
= (a + b)3 – 3ab(a + b)
= (a + b)[(a + b)2 – 3ab]
= (a + b)(a2 + 2ab + b2 – 3ab)
= (a + b)(a2 – ab + b2).
(a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3
a3 – b3 = (a – b)3 + 3a2b – 3ab2
= (a – b)3 + 3ab(a – b)
= (a – b)[(a – b)2 + 3ab]
= (a – b)(a2 – 2ab + b2 + 3ab)
= (a – b)(a2 + ab + b2).
Thực hành 7 trang 21 Toán 8 Tập 1: Viết các đa thức sau dưới dạng tích:
a) 8y3 + 1;
b) y3 – 8.
Lời giải:
a) 8y3 + 1 = (2y)3 + 1
= (2y + 1)[(2y)2 – 2y.1 + 12]
= (2y + 1)(4y2 – 2y + 1)
b) y3 – 8 = y3 – 23
= (y – 2)(y2 + y.2 + 22)
= (y – 2)(y2 + 2y + 4).
Thực hành 8 trang 21 Toán 8 Tập 1: Tính:
a) (x + 1)(x2 – x + 1);
b) .
Lời giải:
a) (x + 1)(x2 – x + 1)
= x3 + 13
= x3 + 1.
b) .
.
Lời giải:
Thể tích của khối lập phương có cạnh bằng 2x + 1 là: (2x + 1)3.
Thể tích của khối lập phương có cạnh bằng x + 1 là: (x + 1)3.
Cách 1: Thể tích phần còn lại là:
(2x + 1)3 – (x + 1)3
= (2x)3 + 3.(2x)2.1 + 3.2x.12 + 13 – (x3 + 3.x2.1 + 3.x.12 + 13)
= 8x3 + 12x2 + 6x + 1 – x3 – 3x2 – 3x – 1
= (8x3 – x3) + (12x2 – 3x2) + (6x – 3x) + (1 – 1)
= 7x3 + 9x2 + 3x.
Cách 1: Thể tích phần còn lại là:
(2x + 1)3 – (x + 1)3
= [(2x + 1) – (x + 1)].[(2x + 1)2 + (2x + 1).(x + 1) + (x + 1)2]
= [2x + 1 – x – 1].[(2x)2 + 2.2x.1 + 12 + (2x.x + 2x.x + 1.x + 1.1) + x2 + 2.x.1 + 12]
= x.[4x2 + 4x + 1 + 2x2 + 3x + 1 + x2 + 2x + 1]
= x.[(4x2 + 2x2 + x2) + (4x + 3x + 2x) + (1 + 1 + 1)]
= x.[7x2 + 9x + 3]
= 7x3 + 9x2 + 3x.
Bài tập
Bài 1 trang 22 Toán 8 Tập 1: Tính:
a) (3x + 4)2;
b) (5x – y)2;
c) .
Lời giải:
a) (3x + 4)2
= (3x)2 + 2.3x.4 + 42
= 9x2 + 24x + 16.
b) (5x – y)2
= (5x)2 – 2.5x.y + y2
= 25x2 – 10xy + y2.
c)
.
Bài 2 trang 22 Toán 8 Tập 1: Viết các biểu thức sau thành bình phương của một tổng hoặc một hiệu:
a) x2 + 2x + 1;
b) 9 – 24x + 16x2;
c) 4x2 + + 2x.
Lời giải:
a) x2 + 2x + 1
= x2 + 2.x.1 + 12
= (x + 1)2.
b) 9 – 24x + 16x2
= 32 – 2.3.4x + (4x)2
= (3 – 4x)2.
Ta cũng có thể viết như sau:
9 – 24x + 16x2
= 16x2 – 24x + 9
= (4x)2 – 2.4x.3 + 32
= (4x – 3)2.
c)
.
Bài 3 trang 22 Toán 8 Tập 1: Viết các biểu thức sau thành đa thức:
a) (3x – 5)(3x + 5);
b) (x – 2y)(x + 2y);
c) .
Lời giải:
a) (3x – 5)(3x + 5)
= (3x)2 – 52
= 9x2 – 25.
b) (x – 2y)(x + 2y)
= x2 – (2y)2
= x2 – 4y2.
c)
.
b) Viết biểu thức tính thể tích của khối lập phương có cạnh bằng 3x − 2 dưới dạng đa thức.
Lời giải:
a) Biểu thức tính diện tích của hình vuông có cạnh bằng 2x + 3 là:
(2x + 3)2 = (2x)2 + 2.2x.3 + 32 = 4x2 + 12x + 9.
b) Biểu thức tính thể tích của khối lập phương có cạnh bằng 3x − 2 là:
(3x – 2)3 = (3x)3 – 3.(3x)2.2 + 3.3x.22 – 23
= 27x3 – 54x2 + 36x – 8.
Bài 5 trang 22 Toán 8 Tập 1: Tính nhanh:
a) 38 . 42;
b) 1022;
c) 1982;
d) 752 – 252.
Lời giải:
a) 38 . 42 = (40 – 2).(40 + 2) = 402 – 22 = 1 600 – 4 = 1 596.
b) 1022 = (100 + 2)2 = 1002 + 2.100.2 + 22 = 10 000 + 400 + 4 = 10 404.
c) 1982 = (200 – 2)2 = 2002 – 2.200.2 + 22 = 40 000 – 800 + 4 = 39 204.
d) 752 – 252 = (75 + 25).(75 – 25) = 100 . 50 = 5 000.
Bài 6 trang 22 Toán 8 Tập 1: Viết các biểu thức sau thành đa thức:
a) (2x – 3)3;
b) (a + 3b)3;
c) (xy –1)3.
Lời giải:
a) (2x – 3)3
= (2x)3 – 3.(2x)2.3 + 3.2x.32 – 33
= 8x3 – 36x2 + 54x – 8.
b) (a + 3b)3
= a3 + 3.a2.3b + 3.a.(3b)2 + (3b)3
= a3 + 9a2b + 27ab2 + 27b3.
c) (xy –1)3
= (xy)3 – 3.(xy)2.1 + 3.xy.12 – 13
= x3y3 – 3x2y2 + 3xy – 1.
Bài 7 trang 22 Toán 8 Tập 1: Viết các biểu thức sau thành đa thức:
a) (a – 5)(a2 + 5a + 25);
b) (x + 2y)(x2 – 2xy + 4y2).
Lời giải:
a) (a – 5)(a2 + 5a + 25)
= (a – 5)(a2 + a.5 + 52)
= a3 – 53
= a3 – 125.
b) (x + 2y)(x2 – 2xy + 4y2)
= (x + 2y).[x2 – x.2y + (2y)2]
= x3 + (2y)3
= x3 + 8y3.
Bài 8 trang 22 Toán 8 Tập 1: Viết các biểu thức sau thành đa thức:
a) (a – 1)(a + 1)(a2 + 1);
b) (xy + 1)2 – (xy – 1)2.
Lời giải:
a) (a – 1)(a + 1)(a2 + 1)
= (a2 – 1)(a2 + 1)
= (a2)2 – 12
= a4 – 1.
b) (xy + 1)2 – (xy – 1)2
= [(xy + 1) + (xy – 1)].[(xy + 1) – (xy – 1)]
= [xy + 1 + xy – 1].[xy + 1 – xy + 1]
= 2xy.2
= 4xy.
Bài 9 trang 22 Toán 8 Tập 1: a) Cho x + y = 12 và xy = 35. Tính (x − y)2.
b) Cho x – y = 8 và xy = 20. Tính (x + y)2.
c) Cho x + y = 5 và xy = 6. Tính x3 + y3.
d) Cho x – y = 3 và xy = 40. Tính x3 – y3.
Lời giải:
a) Ta có: (x − y)2 = x2 – 2xy + y2
= x2 + 2xy + y2 – 4xy
= (x + y)2 – 4xy
Thay x + y = 12 và xy = 35 vào biểu thức trên ta có:
(x − y)2 = 122 – 4.35 = 144 – 140 = 4.
b) Ta có: (x + y)2 = x2 + 2xy + y2
= x2 – 2xy + y2 + 4xy
= (x – y)2 + 4xy
Thay x – y = 8 và xy = 20 vào biểu thức trên ta có:
(x + y)2 = 82 + 4.20 = 64 + 80 = 144.
c) Ta có: x3 + y3 = (x + y).(x2 – xy + y2)
= (x + y).(x2 + 2xy + y2 – 3xy)
= (x + y).[(x + y)2 – 3xy]
Thay x + y = 5 và xy = 6 vào biểu thức trên ta có:
x3 + y3 = 5.(52 – 3.6) = 5.(25 – 18) = 5.7 = 35.
d) Ta có: x3 – y3 = (x – y).(x2 + xy + y2)
= (x – y).(x2 – 2xy + y2 + 3xy)
= (x – y).[(x – y)2 + 3xy]
Thay x – y = 3 và xy = 40 vào biểu thức trên ta có:
x3 – y3 = 3.(32 – 3.40) = 3.(9 – 120) = 5.(–111) = –555.
a) Chiều dài và chiều rộng tăng thêm a cm?
b) Chiều dài, chiều rộng, chiều cao đều tăng thêm a cm?
Lời giải:
Thể tích hình hộp chữ nhật có chiều dài, chiều rộng, chiều cao đều bằng 5 cm là:
53 = 125 (cm3).
a) Chiều dài của hình hộp chữ nhật sau khi tăng thêm a cm là: 5 + a (cm).
Chiều rộng của hình hộp chữ nhật sau khi tăng thêm a cm là: 5 + a (cm).
Thể tích hình hộp chữ nhật lúc sau là:
(5 + a).(5 + a).5 = (5 + a)2.5
= (52 + 2.5.a + a2).5
= (25 + 10a + a2).5
= 25.5 + 10a.5 + a2.5
= 125 + 50a + 5a2 (cm3).
Khi đó thể tích của hình hộp chữ nhật đã tăng thêm là:
125 + 50a + 5a2 – 125 = 5a2 + 50a (cm3).
b) Chiều cao của hình hộp chữ nhật sau khi tăng thêm a cm là: 5 + a (cm).
Thể tích hình hộp chữ nhật lúc sau là:
(5 + a).(5 + a).(5 + a) = (5 + a)3
= 53 + 3.52.a + 3.5.a2 + a3
= 125 + 75a + 15a2 + a3 (cm3).
Khi đó thể tích của hình hộp chữ nhật đã tăng thêm là:
125 + 75a + 15a2 + a3 – 125 = a3 + 15a2 + 75a (cm3).
Video bài giảng Toán 8 Bài 3: Hằng đẳng thức đáng nhớ - Chân trời sáng tạo
0 Comments:
Đăng nhận xét