Công thức về tính chất phép cộng, phép trừ các số thực

 

1. Công thức

Trong tập hợp các số thực, các phép tính có các tính chất đối với phép cộng, phép trừ như sau:

Với a, b, c là các số thực ta có:

• Tính chất giao hoán: a + b = b + a;

• Tính chất kết hợp: (a + b) + c = a + (b + c);

• Tính chất cộng với số 0: a + 0 = 0 + a = a;

• Tính chất cộng với số đối: a + (‒a) = (‒a) + a = 0.

- Ta có thể chuyển phép trừ cho một số thực thành phép cộng với số đối của số thực đó:

a – b = a + (‒b)

- Ta cũng có quy tắc chuyển vế và quy tắc bỏ dấu ngoặc đối với phép tính của các số thực:

• Quy tắc chuyển vế:

a + b = c thì a = c – b;

a – b = c thì a = c + b.

• Quy tắc bỏ dấu ngoặc:

a + (b – c) = a + b – c;

a – (b – c + d) = a – b + c – d.

2. Ví dụ

Ví dụ 1. Tính hợp lí nếu có thể:

a) $\frac{11}{24}-\frac{5}{41}+\frac{13}{24}+\sqrt{0,25}-\frac{36}{41}$;

b) $\sqrt{\frac{25}{9}}-\frac{3}{7}+9-\left(2+\frac{5}{7}-\frac{2}{3}\right)+\frac{8}{7}-\frac{4}{3}-{\left(\sqrt{10}\right)}^2$.

Hướng dẫn giải

a) $\frac{11}{24}-\frac{5}{41}+\frac{13}{24}+\sqrt{0,25}-\frac{36}{41}$

$=\left(\frac{11}{24}+\frac{13}{24}\right)+\left(-\frac{5}{41}-\frac{36}{41}\right)+\sqrt{0,25}$ (tính chất giao hoán và kết hợp)

$=\frac{24}{24}+\frac{-41}{41}+\sqrt{0,5^2}$

= 1 + (‒1) + 0,5

= 0 + 0,5 (tính chất cộng với số đối)

= 0,5 (tính chất cộng với số 0)

b) $\sqrt{\frac{25}{9}}-\frac{3}{7}+9-\left(2+\frac{5}{7}-\frac{2}{3}\right)+\frac{8}{7}-\frac{4}{3}-{\left(\sqrt{10}\right)}^2$

$=\sqrt{{\left(\frac{5}{3}\right)}^2}-\frac{3}{7}+9-\left(2+\frac{5}{7}-\frac{2}{3}\right)+\frac{8}{7}-\frac{4}{3}-10$

$=\frac{5}{3}-\frac{3}{7}+9-2-\frac{5}{7}+\frac{2}{3}+\frac{8}{7}-\frac{4}{3}-10$ (quy tắc bỏ dấu ngoặc)

$=\left(\frac{5}{3}+\frac{2}{3}-\frac{4}{3}\right)+\left(-\frac{3}{7}-\frac{5}{7}+\frac{8}{7}\right)+(9-2-10)$    (tính chất giao hoán và kết hợp)

$=\frac{3}{3}+\frac{0}{7}-3$

= 1 + 0 – 3= ‒2.

Ví dụ 2. Tìm x thỏa mãn:

a) $\left(2x-{\left(\sqrt{3}\right)}^2\right)$‒ (x – 5) = (x + 2) – (x – 1)

b) (x ‒ 0,6) ‒ (x – 0,1) + (2x + 0,5) = $\frac{2}{3}$

Hướng dẫn giải

a) $\left(2x-{\left(\sqrt{3}\right)}^2\right)$‒ (x – 5) = (x + 2) – (x – 1)

(2x – 3) ‒ (x – 5) = (x + 2) – (x – 1)

2x – 3 – x + 5 = x + 2 – x + 1(quy tắc bỏ dấu ngoặc)

(2x – x) + (‒3 + 5) = (x – x) + (2 + 1) (tính chất giao hoán và kết hợp)

x + 2 = 3

x = 3 – 2(quy tắc chuyển vế)

x = 1

Vậy x = 1.

b) (x ‒ 0,6) ‒ (x – 0,1) + (2x + 0,5) = $\frac{2}{3}$

x – 0,6 – x + 0,1 + 2x + 0,5 = $\frac{2}{3}$(quy tắc bỏ dấu ngoặc)

(x – x + 2x) + (‒0,6 + 0,1 + 0,5) = $\frac{2}{3}$(tính chất giao hoán và kết hợp)

[(x – x) + 2x] + [‒0,6 + (0,1 + 0,5)] = $\frac{2}{3}$(tính chất kết hợp)

(0x + 2x) + (‒0,6 + 0,6) = $\frac{2}{3}$

2x + 0 = $\frac{2}{3}$(tính chất cộng với số 0, cộng với số đối)

2x = $\frac{2}{3}$

x = $\frac{2}{3}$: 2

x = $\frac{1}{3}$.

Vậy x = $\frac{1}{3}$

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Tính hợp lí nếu có thể:

a) $\sqrt{\frac{1}{4}}-\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{10}\right);$

b) $-\frac{{\left(\sqrt{25}\right)}^2}{13}-\frac{\sqrt{81}}{17}+\frac{12}{13}+\left(-\frac{25}{17}\right);$

c) $1\frac{2}{3}+\sqrt{0,{25}^2}-\frac{8}{3}-\sqrt{\frac{49}{16}}+\frac{3}{2}$.

Bài 2. Tìm x biết:

a) $\frac{7}{4}-\left(x+\sqrt{\frac{25}{9}}\right)=\frac{-12}{5}$

b) $x-\left(4-\left(\sqrt{9}+1\right)\right)=\sqrt{25}$

c) $\frac{9}{2}-\left(\frac{2}{3}-\left(x+\frac{7}{4}\right)\right)=\frac{-{\left(\sqrt{5}\right)}^2}{4}$.

Bài 3. Biết $1^4+{\left(\sqrt{2}\right)}^4+{\left(\sqrt{3}\right)}^4+\dots +{\left(\sqrt{8}\right)}^4+{\left(\sqrt{9}\right)}^4=285$.

Tính hợp lí giá trị của biểu thức:A = 22 + 42 + 62 + … + 162 + 182.

Bài 4. Ngô bắp tươi là một thực phẩm giàu năng lượng, phổ biến ở các nước Châu Á. Theo Viện dinh dưỡng quốc gia, trong 100 g ngô bắp tươi, chứa $\sqrt{2704}$g nước; $\frac{41}{10}$g protein; 2,3g lipid; $\sqrt{1,44}$g celluloza; 0,8g tro và các chất khác. Hỏi khối lượng các chất khác còn lại trong 100 g ngô bắp tươi là bao nhiêu?

Bài 5. Số lượng gạo nhập và xuất tại một kho trong 5 tuần được ghi trong bảng dưới đây. Tính lượng gạo tồn kho trong 5 tuần đó.

Tuần	Nhập/ Xuất	Số lượng (tấn)
1	Nhập vào	+ 13
2	Xuất ra	$-\sqrt{25}$
3	Xuất ra	$-1\frac{1}{4}$
4	Nhập vào	+ 13,5
5	Xuất ra	$-\sqrt{64}$