Công thức tìm căn bậc hai số học của một số không âm

 

1. Công thức

Căn bậc hai số học của số a không âm là số x không âm sao cho x2 = a.

Kí hiệu là $\sqrt{a}$

Cho a ≥ 0. Khi đó:

+) $\sqrt{a}=x\iff \left(\begin{array}{c}x\ge 0\\ x^2=a\end{array}\right)$;

+) ${\left(\sqrt{a}\right)}^2=a$.

2. Ví dụ minh hoạ

Ví dụ 1. Tìm giá trị của:

a) $\sqrt{81}$;

b) $\sqrt{0,81}$;

c) $\sqrt{{\left(\frac{-5}{6}\right)}^2}$;

d) ${\left(\sqrt{0,5}\right)}^2$.

Hướng dẫn giải

a) Ta có: $\sqrt{81}$ = 9vì 9 > 0 và 92 = 81;

b) Ta có: $\sqrt{0,81}=0,9^2$vì 0,9 > 0 và 0,92 = 0,81;

c) Ta có: $\sqrt{{\left(\frac{-5}{6}\right)}^2}=\frac{5}{6}$vì $\frac{5}{6}\ge 0$và ${\left(\frac{5}{6}\right)}^2={\left(\frac{-5}{6}\right)}^2$.

d) Ta có: ${\left(\sqrt{0,5}\right)}^2=0,5$.

Ví dụ 2. Tính giá trị của biểu thức:

a) $\text{A}=\sqrt{0,09}+7\sqrt{0,36}-3\sqrt{2,25}$;

b) $B=\sqrt{1\frac{9}{16}}-\sqrt{\frac{9}{16}}$.

Hướng dẫn giải

a) $\text{A}=\sqrt{0,09}+7\sqrt{0,36}-3\sqrt{2,25}$

$=\sqrt{0,3^2}+7\sqrt{0,6^2}-3\sqrt{1,5^2}$

= 0,3 + 7.0,6 ‒ 3.1,5

= 0,3 + 4,2 ‒ 4,5 = 0

Vậy $\text{A}=\sqrt{0,09}+7\sqrt{0,36}-3\sqrt{2,25}=0$.

b) $B=\sqrt{1\frac{9}{16}}-\sqrt{\frac{9}{16}}$

$=\sqrt{\frac{25}{16}}-\sqrt{\frac{9}{16}}$

$=\sqrt{{\left(\frac{5}{4}\right)}^2}-\sqrt{{\left(\frac{3}{4}\right)}^2}$

$=\frac{5}{4}-\frac{3}{4}$$=\frac{1}{2}$

Vậy $B=\sqrt{1\frac{9}{16}}-\sqrt{\frac{9}{16}}=\frac{1}{2}.$

Ví dụ 3. Trò chơi “tìm kho báu” là một trò chơi quốc tế, rất phổ biến trong sinh hoạt Đoàn Đội. Ai đã một lần chơi sẽ cảm nhận được tính thú vị, hấp dẫn và lôi cuốn của nó, nhất là với các bạn yêu thích khám phá. Trong trò chơi bạn An phải giải bài toán có nội dung sau: “Số để bấm vào khóa mở được cửa kho báu bằng giá trị $\sqrt{\left({\text{n}}^2+\text{2}\right)\left({\text{n}}^2+\text{4}\right)+\text{1}}$khi n = 10”. Em hãy trình bày cách tìm ra số để bạn An bấm vào ổ khóa số mở cửa kho báu nhé.

Hướng dẫn giải

Thay n = 10 vào công thức $\sqrt{\left({\text{n}}^2+\text{2}\right)\left({\text{n}}^2+\text{4}\right)+\text{1}}$, ta được:

$\sqrt{\left({\text{10}}^{\text{2}}+\text{2}\right)\left({\text{10}}^{\text{2}}+\text{4}\right)+\text{1}}$

$=\sqrt{\left(\text{100}+\text{2}\right)\left(\text{100}+\text{4}\right)+\text{1}}$

$=\sqrt{\text{102.104}+\text{1}}=\sqrt{\text{10609}}=\text{103}$.

Vậy số để bạn An bấm vào ổ khóa số mở cửa kho báu là 103.

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Tìm căn bậc hai số học của:

a) 0,25;

b) 1,21;

c) 0;

d) ‒9.

Bài 2. Chứng tỏ rằng:

a) Số 20 là căn bậc hai số học của số 400;

b) Số ‒9 không phải căn bậc hai số học của số 81;

c) Số 1,4 là căn bậc hai số học của 1,96 nhưng ‒1,4 không phải là căn bậc hai số học của 1,96.

Bài 3. Tính giá trị của biểu thức:

a) $2.\sqrt{6}.\left(-\sqrt{6}\right);$

b) $0,1.{\left(\sqrt{7}\right)}^2+\sqrt{1,69};$

c) $0,1.\sqrt{400}+0,2.\sqrt{1600};$

d) $-4.\sqrt{\frac{1}{16}}+3\sqrt{\frac{1}{9}}-5\sqrt{0,04}$.

Bài 4. Để lát một mảnh sân hình vuông có diện tích 100 m2, người ta cần dùng bao nhiêu viên gạch hình vuông có cạnh dài 50 cm (coi các mạch ghép là không đáng kể)?

Bài 5. Biết rằng bình phương độ dài đường chéo của một hình chữ nhật bằng tổng các bình phương độ dài hai cạnh của nó. Một hình chữ nhật có chiều dài 4 dm và chiều rộng là 3 dm. Độ dài đường chéo của hình chữ nhật đó bằng bao nhiêu đềximet?