Công thức về tính chất của phép nhân các số thực

 

1. Công thức

Trong tập hợp các số thực, các phép tính có các tính chất đối với phép nhân như sau:

Với a, b, c là các số thực ta có:

• Tính chất giao hoán: a. b = b. a;

• Tính chất kết hợp: (a. b). c = a. (b. c);

• Tính chất nhân với số 1: a. 1 = 1. a = a;

• Tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng: a. (b + c) = a. b + a. c;

• Với mỗi số thực a ≠ 0, có số nghịch đảo $\frac{1}{a}$sao cho $a.\frac{1}{a}=1$.

Ta có thể chuyển phép chia cho một số thực khác 0 về phép nhân với số nghịch đảo của số thực đó:

a : b = $a.\frac{1}{b}$(với b ≠ 0)

2. Ví dụ

Ví dụ 1. Tính một cách hợp lí.

a) $A=\left(\frac{-\sqrt{25}}{17}\right).\sqrt{\frac{49}{64}}.\left(\frac{17}{-5}\right).\left(-24\right);$

b) $B=46.\left(\frac{1}{2}-\frac{7}{23}-\frac{27}{23.\sqrt{2^2}}\right).\frac{1}{9}$

Hướng dẫn giải

a) $A=\left(\frac{-\sqrt{25}}{17}\right).\sqrt{\frac{49}{64}}.\left(\frac{17}{-5}\right).\left(-24\right)$

$=\left(\frac{-\sqrt{5^2}}{17}\right).\sqrt{{\left(\frac{7}{8}\right)}^2}.\left(\frac{17}{-5}\right).\left(-24\right)$

$=\left(\frac{-5}{17}\right).\frac{7}{8}.\left(\frac{17}{-5}\right).\left(-24\right)$   

$=\left(\frac{-5}{17}\right).\left(\frac{17}{-5}\right).\frac{7}{8}.\left(-24\right)$             (tính chất giao hoán)

$=\left(\left(\frac{-5}{17}\right).\left(\frac{17}{-5}\right)\right).\left(\frac{7}{8}.\left(-24\right)\right)$               (tính chất kết hợp)

= 1. (‒21) = ‒21(tính chất nhân với số 1)

b) $B=46.\left(\frac{1}{2}-\frac{7}{23}-\frac{27}{23.\sqrt{2^2}}\right).\frac{1}{9}$

$=46.\left(\frac{1}{2}-\frac{7}{23}-\frac{27}{23.2}\right).\frac{1}{9}$

$=46.\left(\frac{1}{2}-\frac{7}{23}-\frac{27}{46}\right).\frac{1}{9}$

$=\left(46.\frac{1}{2}-46.\frac{7}{23}-46.\frac{27}{46}\right).\frac{1}{9}$     (tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng)

$=(23-14-27).\frac{1}{9}$

= (‒18).$\frac{1}{9}$= ‒2.

Ví dụ 2. Cho $A=\sqrt{\frac{9}{49}}.15\frac{1}{3}+\frac{3}{7}.5\frac{2}{3}$và $B=\left(3\frac{1}{2}:7-\frac{\sqrt{169}}{2}\right).\left(-2\frac{1}{3}\right).$

Tìm số nguyên x biết: A < x < B.

Hướng dẫn giải

Thực hiện phép tính:

$A=\sqrt{\frac{9}{49}}.15\frac{1}{3}+\frac{3}{7}.5\frac{2}{3}$

$=\sqrt{{\left(\frac{3}{7}\right)}^2}.15\frac{1}{3}+\frac{3}{7}.5\frac{2}{3}$

$=\frac{3}{7}.15\frac{1}{3}+\frac{3}{7}.5\frac{2}{3}$ 

$=\frac{3}{7}\left(15\frac{1}{3}+5\frac{2}{3}\right)$              (tính chất kết hợp)

$=\frac{3}{7}\left(15+\frac{1}{3}+5+\frac{2}{3}\right)$

$=\frac{3}{7}\left(20+\frac{3}{3}\right)$

$=\frac{3}{7}.21$ = 9.

$B=\left(3\frac{1}{2}:7-\frac{\sqrt{169}}{2}\right).\left(-2\frac{1}{3}\right)$

$=\left(\frac{3.2+1}{2}:7-\frac{\sqrt{{13}^2}}{2}\right).\left(-\frac{2.3+1}{3}\right)$

$=\left(\frac{7}{2}\cdot \frac{1}{7}-\frac{13}{2}\right)\cdot \frac{-7}{3}$

$=\left(\frac{1}{2}-\frac{13}{2}\right)\cdot \frac{-7}{3}$

$=\frac{-12}{2}\cdot \frac{-7}{3}$

$=\left(-6\right)\cdot \frac{-7}{3}$ = 14.

Do đó 9 < x < 14 mà x là số nguyên nên x $\in${10 ; 11 ; 12 ; 13}.

Vậy x $\in$ {10 ; 11 ; 12 ; 13}.

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Tính một cách hợp lí:

a) $\sqrt{1,44}.\frac{15}{4}+\frac{16}{7}.\frac{-85}{8}-1,2.5\frac{3}{4}-\frac{{\left(\sqrt{16}\right)}^2}{7}.\frac{-71}{2^3};$

b) $\frac{\left(\frac{1}{5}-\frac{2}{7}\right).\frac{3}{4}-\frac{3}{4}.\left(\frac{1}{3}-\frac{2}{7}\right)}{\frac{1}{5}.\frac{2}{7}-\frac{1}{3}.\left(\frac{2}{7}+\frac{3}{9}\right)+\frac{3}{9}.\frac{1}{5}}.$

Bài 2. Tìm x biết:

a) $\frac{2}{\sqrt{81}}:x+\frac{5}{6}=\sqrt{0,25};$

b) $1\frac{1}{4}:\left(x-\sqrt{\frac{4}{9}}\right)=0,75;$

c) $\left(\frac{-5}{\sqrt{36}}x+\frac{5}{4}\right):\frac{3}{2}=\frac{{\left(\sqrt{2}\right)}^4}{3}.$

Bài 3. Tìm số nguyên x, biết rằng:

$\left(-1\frac{1}{2}:\frac{3}{-4}\right)\cdot \left(-4\frac{1}{2}\right)-\sqrt{\frac{1}{16}}<\frac{x}{8}<-\frac{1}{2}\cdot \frac{{\left(\sqrt{3}\right)}^2}{4}:\frac{1}{8}+1.$

Bài 4. Đường kính của Sao Kim bằng $\sqrt{\frac{36}{625}}$đường kính của Sao Thiên Vương. Đường kính của Sao Thiên Vương bằng $\frac{\sqrt{5^2}}{14}$đường kính của Sao Mộc.

a) Đường kính của Sao Kim bằng bao nhiêu phần đường kính của Sao Mộc?

b) Biết rằng đường kính của Sao Mộc khoảng 140 000 km, tính đường kính của Sao Kim.

Bài 5. Một nhà máy trong tuần thứ nhất đã thực hiện được $\sqrt{\frac{4^2}{225}}$kế hoạch tháng, trong tuần thứ hai thực hiện được $\frac{7}{30}$kế hoạch, trong tuần thứ ba thực hiện được $\frac{3\sqrt{100}}{100}$kế hoạch. Để hoàn thành kế hoạch của tháng thì trong tuần cuối nhà máy phải thực hiện bao nhiêu phần kế hoạch?