Công thức về luỹ thừa của số thực với số mũ tự nhiên

 1. Công thức

Trong tập hợp các số thực, các phép tính luỹ thừa với số mũ tự nhiên như sau:

Với x, y là các số thực và m, n là các số tự nhiên:

• Luỹ thừa với số mũ tự nhiên: $x^n=\underset{n\text{thua so x}}{\underset{}{x.x.\mathrm{...}.x}};$

• Tích và thương của hai luỹ thừa cùng cơ số: với x ≠ 0, m ≥ n ta có

xm. xn = xm + n;

xm : xn = xm – n

• Luỹ thừa của một luỹ thừa: (xm)n = xm. n

• Luỹ thừa của một tích, một thương:

(x. y)n = xn. yn;

${\left(\frac{\text{x}}{\text{y}}\right)}^{\text{n}}=\frac{{\text{x}}^{\text{n}}}{{\text{y}}^{\text{n}}}$ (với y ≠ 0)

• Quy ước: x0 = 1 và x1 = x.

2. Ví dụ minh hoạ

Ví dụ 1. Tính:

a) (‒3)4; 1100; (‒2)0;

b) ${\left(\frac{2}{5}\right)}^2;$

c) ${\left(\sqrt{5}\right)}^4$;

d) ${\left(\sqrt{7}\right)}^3.\left(\sqrt{7}\right);$

e) ${\left(\sqrt{11}\right)}^5:{\left(\sqrt{11}\right)}^3.$

Hướng dẫn giải

Ta có:

a) (‒3)4 = (‒3).(‒3).(‒3).(‒3) = 81;

1100 = 1;

(‒2)0 = 1.

b) ${\left(\frac{2}{5}\right)}^2=\left(\frac{2}{5}\right).\left(\frac{2}{5}\right)=\frac{4}{25};$

c) ${\left(\sqrt{5}\right)}^4={\left({\left(\sqrt{5}\right)}^2\right)}^2=5^2=25;$

d) ${\left(\sqrt{7}\right)}^3.{\left(\sqrt{7}\right)}^1={\left(\sqrt{7}\right)}^{3+1}={\left(\sqrt{7}\right)}^4$

$={\left({\left(\sqrt{7}\right)}^2\right)}^2=7^2=49;$

e) ${\left(\sqrt{11}\right)}^5:{\left(\sqrt{11}\right)}^3={\left(\sqrt{11}\right)}^{5-3}={\left(\sqrt{11}\right)}^2=11.$

Ví dụ 2. Thực hiện các phép tính sau:

a) 82. 24 – 6.${\left(\sqrt{2}\right)}^4$;

b) 49. ${\left(\sqrt{25}\right)}^{27}$;              

c) $\frac{6^6+6^3\cdot 3^3+3^6}{-73}.$

Hướng dẫn giải

a) 82. 24 – 6.${\left(\sqrt{2}\right)}^4$

= (23)2. 24 – 6.${\left({\left(\sqrt{2}\right)}^2\right)}^2$

= 26. 24 – 6.22 = 26 + 4 – 6.4

= 210 – 24 = 1 024 – 24

= 1 000.

b) 49. ${\left(\sqrt{25}\right)}^{27}$= 49. ${\left(\sqrt{5^2}\right)}^{27}$

= 49. 527 = 49. (53)9

= 49. 1259 = (4. 125)9

= 5009

c) $\frac{6^6+6^3\cdot 3^3+3^6}{-73}.$

$=\frac{{\left(2.3\right)}^6+{\left(2.3\right)}^3\cdot 3^3+3^6}{-73}$

$=\frac{2^6\cdot 3^6+2^3\cdot 3^3\cdot 3^3+3^6}{-73}$

$=\frac{3^6\left(2^6+2^3+1\right)}{-73}$$=\frac{3^6\cdot 73}{-73}$

= ‒36 = ‒729.

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Tính (‒1)20; (‒1)21; ${\left(\sqrt{5}\right)}^4$; ${\left(\frac{1}{3}\right)}^2$; ${\left(\sqrt{25}\right)}^2{.5}^2$; ${\left(\sqrt{169}\right)}^3:{13}^2$

Bài 2. Rút gọn các biểu thức sau dưới dạng luỹ thừa của một số thực:

a) $\frac{{\left(\frac{2}{3}\right)}^3\cdot {\left(-\frac{3}{4}\right)}^2\cdot {(-1)}^2}{{\left(\frac{2}{5}\right)}^2\cdot {\left(-\frac{5}{12}\right)}^2};$

b) $\frac{2^3+2^4+2^5}{7^2};$

c) $\frac{{\left(0,2\right)}^5.0,3^3}{{\left(0,2\right)}^7.{\left(0,3\right)}^4};$

d) ${\left(1+\sqrt{0,25}-\frac{1}{4}\right)}^2.\left(2+\frac{3}{7}\right).$

Bài 3. Tính nhanh:

M = (100 – 1). (100 – 22). (100 – 32). …. (100 – 502)

Bài 4. Tìm x biết

a) ${\left(x-\frac{1}{3}\right)}^3=\frac{1}{{\left(\sqrt{3}\right)}^6};$

b) (2x – 1)3 = ‒${\left(\sqrt{2}\right)}^2$‒ 6;

c) (1,2)3. x = (1,2)5;

d) 16x : 2x = 64.

Bài 5.

a) Khối lượng của Trái Đất khoảng 5,97. 1024 kg, khối lượng của Mặt Trăng khoảng 7,35. 1022 kg. Tính tổng khối lượng của Trái Đất và Mặt Trăng.

b) Sao Mộc cách Trái Đất khoảng 8,27. 108 km, Sao Thiên Vương cách Trái Đất khoảng 3,09. 109 km. Sao nào ở gần Trái Đất hơn?

Bài 6. Một sân khấu có dạng hình vuông, diện tích 81 m2. Em hãy tính chu vi của sân khấu đó.