Công thức tính giá trị tuyệt đối của một số thực

 1. Công thức

Khái niệm: Khoảng cách từ điểm x đến điểm gốc O trên trục số được gọi là giá trị tuyệt đối của số x, kí hiệu là |x|.

• Với mọi số thực x thì |x| ≥ 0;

• Với mọi số thực x thì |‒x| = |x|;

Tính chất:

• Nếu x > 0 thì |x| = x.

• Nếu x = 0 thì |x| = 0.

• Nếu x < 0 thì |x| = ‒x.

Ta cũng có thể viết như sau:

$\left(x\right)=\left(\begin{array}{c}x\text{khi}x>0\\ 0\text{khi}x=0\\ -x\text{khi}x<0\end{array}\right)$

+ Với số thực không âm a ≥ 0, ta có: |x| = a thì x = a hoặc x = −a;

+ Với mọi số thực x, y ta có: |x| = |y| thì x = a hoặc x = −y.

2. Ví dụ

Ví dụ 1. Tìm: |‒3,14|; $\left(-\frac{5}{12}\right)$; $\left(-\sqrt{2}\right)$; $\left(\sqrt{5}\right)$

Hướng dẫn giải

Ta có:

|‒3,14| = ‒(‒3,14) = 3,14;

$\left(-\frac{5}{12}\right)=-\left(-\frac{5}{12}\right)=\frac{5}{12}$;

$|-\sqrt{2}|=-(-\sqrt{2})=\sqrt{2}$;

$\left(\sqrt{5}\right)=\sqrt{5}$.

Ví dụ 2. Tìm số thực x, biết:

a) $\left(x\right)=\sqrt{2};$

b) |x ‒ 2| = 0;

c) |x + 2| = ‒5.

d) $\left(x\right)=\sqrt{9}.$

Hướng dẫn giải

a) |x| = $\sqrt{2}$

Nên x = $\sqrt{2}$hoặc x = $-\sqrt{2}$.

Vậy x = $\sqrt{2}$hoặc x = $-\sqrt{2}$.

b) |x ‒ 2| = 0

Nên x – 2 = 0 hay x = 2.

Vậy x = 2.

c) Do |x + 2| ≥ 0 với mọi số thực x

Mà ‒5 < 0

Nên không có số thực x nào thoả mãn |x + 2| = ‒5.

Vậy không có giá trị nào của x thoả mãn đề bài.

d) $\left(x\right)=\sqrt{9}.$

$\left(x\right)=\sqrt{3^2}$

|x| = 3

Suy ra x = 3 hoặc x = ‒3.

Vậy x = 3 hoặc x = ‒3.

Ví dụ 3. Tính giá trị của biểu thức biết:M = 3x2 ‒ |x – 7| biết $x=\sqrt{25}$.

Hướng dẫn giải

Ta có: $x=\sqrt{25}=\sqrt{5^2}=5.$

Thay x = 5 vào biểu thức M ta có:

M = 3.52 ‒ |5 – 7|= 3.25 – |‒2|

= 75 – 2 = 73

Vậy với $x=\sqrt{25}$ta có M = 73.

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Tìm |‒60|; $\left(-\frac{3}{7}\right)$; |1,3|; $\left(-\sqrt{7}\right);$ ${\left(-\frac{1}{2}\right)}^3.$

Bài 2. Tính giá trị biểu thức:

a) |‒136| + |‒364|;

b) |‒28| ‒ |68|;

c) (‒200) ‒ |‒25|.|3|;

Bài 3. Tìm x biết:

a) |x| = 14;

b) |x| = $\sqrt{6}$;

c) | x + 25| = 0;

d) |x ‒ $\sqrt{3}$| = 0;

e) $\left(x-\sqrt{9}\right)=\sqrt{36}.$

Bài 4. Tính giá trị của biểu thức:

a) A = |2x ‒ 2| khi x = 3.

b) B = 6x3 – 3x2 + 2|x| + 4 với x = $\frac{-2}{3}$;

c) C = $\left(x+\frac{1}{2}\right)-\left(x+2\right)+\left(x-\frac{3}{4}\right)$khi $x=\frac{-1}{2}$;

d) D = $\frac{3}{2}+\frac{2}{3}.\left(6-\left(x\right)\right)$khi x = 3;

Bài 5. Tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:

a) A = $-\left(x+\frac{2}{5}\right)$;

b) B = $\frac{5}{17}+\left(3\text{x}-2\right)$.