Công thức lũy thừa với số mũ tự nhiên

 

1. Công thức

a) Lũy thừa với số mũ tự nhiên

$x^n=\underset{n}{\underset{}{x.x.x\mathrm{....}x}}$ (x ∈ ℚ, n ∈ ℕ, n > 1);

Nếu $x=\frac{a}{b}$ (a, b ∈ ℤ, b ≠ 0) thì:

$x^n={\left(\frac{a}{b}\right)}^n=\frac{a}{b}.\frac{a}{b}\mathrm{...}\frac{a}{b}=\frac{a.a\mathrm{...}a}{b.b\mathrm{...}b}=\frac{a^n}{b^n}$.

Quy ước:

$x^0=1$ (x ∈ ℚ, x ≠ 0);

$x^1=x$ (x ∈ ℚ).

b) Nhân hai lũy thừa cùng cơ số

xm .xn = xm+n (x $\in$ ℚ, m, n $\in$ ℕ);

c) Chia hai lũy thừa cùng cơ số

xm : xn = xm-n (x ≠ 0, m ≥ n);

d) Lũy thừa của lũy thừa

 = xm.n (x $\in$ ℚ, m, n $\in$ ℕ).

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Tính:

a) (–3)3;

b) ${\left(\frac{1}{3}\right)}^4$ ;

c) ${\left(\frac{1}{5}\right)}^2{.5}^2$;

d) $\frac{{(-14)}^2}{7^2}$.

Hướng dẫn giải:

a) (–3)3 = (–3).(–3).(–3)= –27;

b) ${\left(\frac{1}{3}\right)}^4=\frac{1}{3}.\frac{1}{3}.\frac{1}{3}.\frac{1}{3}$

$=\frac{1.1.1.1}{3.3.3.3}$$=\frac{1^4}{3^4}=\frac{1}{81}$;

c) ${\left(\frac{1}{5}\right)}^2{.5}^2=\left(\frac{1}{5}.\frac{1}{5}\right).\left(5.5\right)$

$=\left(\frac{1}{5}.5\right).\left(\frac{1}{5}.5\right)$

$={\left(\frac{1}{5}.5\right)}^2=1^2=1$;

d) $\frac{{(-14)}^2}{7^2}=\frac{(-14).(-14)}{7.7}$

$={\left(\frac{-14}{7}\right)}^2={(-2)}^2=4.$

Ví dụ 2. Viết các biểu thức dưới dạng lũy thừa:

Hướng dẫn giải:

Ví dụ 3. Tìm x, biết:

a) x : 73 = 79 ;

b) $\frac{3^4}{{16}^2}.x={\left(\frac{3}{4}\right)}^7$ ;  

c) 25x : 52 = 54 .

Hướng dẫn giải:

a) x : 72 = 73

x = 73. 72

x = 75 = 1807

Vậy x = 1807.

b) $\frac{3^4}{{16}^2}.x={\left(\frac{3}{4}\right)}^7$

$\frac{3^4}{{\left(4^2\right)}^2}.x={\left(\frac{3}{4}\right)}^7$

$\frac{3^4}{4^4}.x={\left(\frac{3}{4}\right)}^7$

${\left(\frac{3}{4}\right)}^4.x={\left(\frac{3}{4}\right)}^7$

$x={\left(\frac{3}{4}\right)}^7:{\left(\frac{3}{4}\right)}^4$

$x={\left(\frac{3}{4}\right)}^3=\frac{27}{64}$

Vậy $x=\frac{27}{64}$ .

c) 25x : 52 = 54

(52)x = 54. 52

52x = 56

2.x = 6

x = 3

Vậy x = 3.

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Viết các số sau đây:

a) ${\left(\frac{1}{27}\right)}^7$;${\left(\frac{1}{81}\right)}^5$ dưới dạng lũy thừa cơ số $\frac{1}{3}$ ;

b) 625; 3126 dưới dạng lũy thừa cơ số 5.

Bài 2. Không sử dụng máy tính, hãy tính:

a) (–3)8, biết (–3)7 = –2187;

b) ${\left(\frac{2}{-3}\right)}^{12}$, biết ${\left(\frac{2}{-3}\right)}^{11}=\frac{-2048}{177147}$.

Bài 3. Viết các biểu thức sau dưới dạng lũy thừa của một số hữu tỉ:

a) (–2)8. (–2)4;

b) ${\left(\frac{4}{3}\right)}^{10}{.3}^{10}$;

c) (–125)3 : 253 .            

Bài 4. Tính

a) ${\left(1+\frac{1}{2}-\frac{1}{4}\right)}^2.\left(2+\frac{3}{7}\right)$;           

b) $4:{\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)}^3$.

Bài 5. Viết các biểu thức sau dưới dạng lũy thừa của một số hữu tỉ:

a) 158. 24;

b) 275 : 323.