Công thức cộng, trừ, nhân, chia số hữu tỉ

 1. Công thức

a) Cộng và trừ hai số hữu tỉ

Trường hợp 1: Hai phân số cùng mẫu số

Viết hai số hữu tỉ x, y dưới dạng $x=\frac{a}{m};y=\frac{b}{m}$  (a, b, m, n ∈ ℤ, m ≠ 0)

Khi đó ta có:

$x+y=\frac{a}{m}+\frac{b}{m}=\frac{a+b}{m}$;

$x-y=\frac{a}{m}-\frac{b}{m}=\frac{a-b}{m}$.

Trường hợp 2: Hai phân số khác mẫu số

Viết hai số hữu tỉ x, y dưới dạng $x=\frac{a}{m};y=\frac{b}{n}$ (a, b, m, n ∈ℤ, m, n ≠ 0)

Khi đó ta có:

$x+y=\frac{a}{m}+\frac{b}{n}=\frac{a.n}{m.n}+\frac{b.m}{n.m}=\frac{a.n+b.m}{m.n}$;

$x-y=\frac{a}{m}-\frac{b}{n}=\frac{a.n}{m.n}-\frac{b.m}{n.m}=\frac{a.n-b.m}{m.n}$.

Tính chất: Phép cộng số hữu tỉ cũng có các tính chất của phép cộng phân số:

- Tính chất giao hoán: x + y = y + x

- Tính chất kết hợp: (x + y) + z = x + (y + z)

- Tính chất cộng với 0:x + 0 = x

b) Nhân hai số hữu tỉ

Với hai số hữu tỉ $x=\frac{a}{b};y=\frac{c}{d}$ (b, d ≠ 0) ta có:

$x.y=\frac{a}{b}.\frac{c}{d}=\frac{ac}{bd}$.

Tính chất: Phép nhân trong ℚ có các tính chất cơ bản sau:

- Tính chất giao hoán: a. b = b. a

- Tính chất kết hợp: (a. b). c = a. (b. c)

- Nhân với 1: a. 1 = a

- Tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng: a. (b + c) = a. b + a. c

c) Chia hai số hữu tỉ

Với hai số hữu tỉ $x=\frac{a}{b};y=\frac{c}{d}$ (b, d, y ≠ 0) ta có:

$x:y=\frac{a}{b}:\frac{c}{d}=\frac{a}{b}.\frac{d}{c}=\frac{a.d}{b.c}$.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Thực hiện phép tính:

a) $(-2)-\left(-\frac{3}{4}\right)$;                               

b) $\frac{-8}{3}+\frac{4}{7}$;

c) $-0,5+\frac{2}{3}+\frac{1}{2}$ ;                                         

d) $\frac{8}{9}-\left(\frac{7}{4}-\left(\frac{3}{4}-\frac{2}{3}\right)\right)$.

Hướng dẫn giải:

a) $(-2)-\left(-\frac{3}{4}\right)=\frac{-8}{4}-\frac{-3}{4}$

$=\frac{(-8)-(-3)}{4}=\frac{-5}{4}$;

b) $\frac{-8}{3}+\frac{4}{7}=\frac{-56}{21}+\frac{12}{21}$

$=\frac{(-56)+12}{21}=\frac{-44}{21}$.

c) $-0,5+\frac{2}{3}+\frac{1}{2}$

$=\frac{-1}{2}+\frac{2}{3}+\frac{1}{2}$

$=\left(\frac{-1}{2}+\frac{1}{2}\right)+\frac{2}{3}$

$=0+\frac{2}{3}=\frac{2}{3}$.

d) $\frac{8}{9}-\left(\frac{7}{4}-\left(\frac{3}{4}-\frac{2}{3}\right)\right)$

 $=\frac{8}{9}-\frac{7}{4}+\left(\frac{3}{4}-\frac{2}{3}\right)$

$=\frac{8}{9}-\frac{7}{4}+\frac{3}{4}-\frac{2}{3}$

$=\left(\frac{8}{9}-\frac{2}{3}\right)-\left(\frac{7}{4}-\frac{3}{4}\right)$

$=\left(\frac{8}{9}-\frac{6}{9}\right)-1$

$=\frac{2}{9}-1=\frac{-7}{9}$.

Ví dụ 2. Thực hiện phép tính:

a) $\frac{6}{7}.0,25$;                

b) $-2,4:\frac{6}{5}$ ;                           

c) $(-2).\frac{-38}{21}.\frac{-7}{4}.\left(\frac{-3}{8}\right)$ ;

d) $\left(\frac{11}{12}:\frac{33}{16}\right).\frac{3}{5}$.

Hướng dẫn giải:

a) $\frac{6}{7}.0,25=\frac{6}{7}.\frac{25}{100}$

$=\frac{150}{700}=\frac{3}{14}$;

b) $-2,4:\frac{6}{5}=\frac{-24}{10}:\frac{6}{5}$

$=\frac{-24}{10}.\frac{5}{6}=\frac{-120}{60}=-2$;

c) $(-2).\frac{-38}{21}.\frac{-7}{4}.\left(\frac{-3}{8}\right)$

$=\frac{(-2).(-38).(-7).(-3)}{\mathrm{21.4.8}}$

$=\frac{\mathrm{2.38.7.3}}{\mathrm{21.4.8}}=\frac{19}{8}$;

d) $\left(\frac{11}{12}:\frac{33}{16}\right).\frac{3}{5}=\frac{11}{12}.\frac{16}{33}.\frac{3}{5}$

$=\frac{\mathrm{11.16.3}}{\mathrm{12.33.5}}=\frac{4}{15}$.

Ví dụ 3. Tính một cách hợp lí

a) $\frac{37}{5}+(-0,7)+\frac{5}{2}+(-4,3)$ ;

b) 0,65. 78 + 5,5. 2020 + 0,35. 78 –2,2. 2020.

Hướng dẫn giải:

a) $\frac{37}{5}+(-0,7)+\frac{5}{2}+(-4,3)$

= 7,4 + (–0,7) + 2,5 + (–4,3)

= (7,4 + 2,5) + [(–0,7) + (–4,3)]

= 9,9 + (–5) = 4,9 ;

b) 0,65. 78 + 5,5. 2020 + 0,35. 78 – 2,2. 2020

= (0,65. 78 + 0,35. 78) + (5,5. 2020 – 2,2. 2020)

= 78. (0,65 + 0,35) + 2020. (5,5 – 2,2)

= 78. 1 + 2020. 3,3

= 78 + 6666

= 6744.

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Tính

a) $\frac{-2}{18}+\frac{12}{27}$ ;                         

b) $-2,5-\frac{5}{9}$ ;             

c) $\frac{2}{-3}+2,5+\frac{1}{3}+1\frac{1}{2}$ .

Bài 2. Tính giá trị của các biểu thức sau:

a) $\left(8+2\frac{1}{3}-\frac{3}{5}\right)-\left(3\frac{1}{2}-0,4\right)$ ;                 

b) $\left(7-\frac{1}{2}-\frac{3}{4}\right):\left(5-\frac{1}{4}-\frac{5}{8}\right)$.

Bài 3. Tính

a) $\frac{-5}{9}.0,25$;

b) $\frac{-7}{6}:1\frac{5}{7}$.                

Bài 4. Tính một cách hợp lí:      

 a) $\frac{7}{6}.3\frac{1}{4}+\frac{7}{6}.(-0,25)$ ;                               

b) $\frac{3}{2}.\left(-\frac{37}{10}\right)+\frac{17}{2}.\left(-\frac{37}{10}\right)$ .

Bài 5. Tính nhanh

$1,2.\frac{15}{4}+\frac{16}{7}.\frac{-85}{8}-1,2.5\frac{3}{4}-\frac{16}{7}.\frac{-71}{8}$.