Số thập phân hữu hạn, vô hạn tuần hoàn, vô hạn không tuần hoàn.

{tocify}$title={Mục lục nội dung}

PHÂN BIỆT HỮU HẠN VÀ VÔ HẠN

Số thập phân hữu hạn thì có phần thập phân dừng lại ở một số chữ số nào đó. Chẳng hạn: 3,579; 287,1099; 0,04.

Số thập phân vô hạn tuần hoàn và số thập phân vô hạn không tuần hoàn đều có phần thập phân kéo dài mãi mãi (thường được biểu thị bởi dấu ba chấm …). 

Trong đó:

- Số thập phân vô hạn tuần hoàn thì phần thập phân của nó có một hoặc một số chữ số lặp đi lặp lại. Chẳng hạn: 56,12121212… (lặp lại cụm 12)  hoặc 1,03555555…  (lặp lại các chữ số 5). 
- Số thập phân vô hạn không tuần hoàn thì phần thập phân của nó không có sự lặp lại. Chẳng hạn: 1,23456…  (viết liên tiếp tăng dần các số tự nhiên vào sau dấu phẩy). 

Ví dụ 1:

a) Thực hiện phép chia 33:20. Kết quả của phép chia này là loại số thập phân nào?

b) Thực hiện phép chia 4:3. Kết quả của phép chia này là loại số thập phân nào?

c) Cho số thập phân −10,2468… có phần thập phân được lập nên bằng cách viết liên tiếp tăng dần các số tự nhiên chẵn vào sau dấu phẩy. Số như vậy thuộc loại số thập phân nào?

Giải:

a) Thực hiện phép chia 33:20

Vậy ta có kết quả 33:20=1,65. (Có thể sử dụng máy tính cầm tay để tính ra được kết quả này.)

Quan sát số 1,65, ta thấy dãy số sau dấu phẩy là 65. Nó dừng lại với hai chữ số (là 6 và 5). → Ta gọi số 1,65 là số thập phân hữu hạn.

Ví dụ 2: Thực hiện phép chia 4:3, ta có thể đặt tính như sau:


Vậy ta có kết quả 4:3=1,333…Dấu ba chấm (…) biểu thị sự kéo dài mãi mãi (không dừng). → Sự kéo dài không chấm dứt này được gọi là “vô hạn”.

Kết quả của phép chia là 1,333… Đây là một số thập phân vô hạn tuần hoàn.

Trong số thập phân vô hạn tuần hoàn, mỗi cụm chữ số lặp đi lặp lại được gọi là một chu kỳ. Chẳng hạn, số 4,15151515…  có chu kỳ là 15; số −0,0133333… có chu kỳ là 3. 

Khi viết số thập phân vô hạn tuần hoàn, ta để chu kỳ vào trong cặp dấu ngoặc đơn và bỏ dấu ba chấm. Chẳng hạn 4,15151515…=4,(15)  và 0,0133333…=0,01(3).

Ví dụ 3: Viết lại các số thập phân vô hạn tuần hoàn sau bằng cách không dùng dấu ba chấm:

a) 4,723723723723… 

b) 51,12345454545… 

Giải:

a) 4,(723)  (chu kỳ là 723). 

b) 51,123(45)  (chu kỳ là 45).

Ví dụ 4: Số −0,12345…  (sau dấu phẩy, viết liên tiếp tăng dần các số 1; 2; 3; 4; …) có phần thập phân kéo dài mãi mãi, trường hợp này được gọi là “vô hạn”.

🤔 Số thập phân hữu hạn thì có phần thập phân dừng lại ở một số chữ số nào đó.

🤔 Số thập phân vô hạn thì có phần thập phân kéo dài mãi mãi (không dừng). 

Do đó, khi viết số thập phân vô hạn, luôn có dấu ba chấm ở cuối để biểu thị rằng nó chưa chấm dứt (còn nữa).

Nói cách khác:

+) Mỗi số hữu tỷ viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn hoặc vô hạn tuần hoàn.

+) Mỗi số vô tỷ viết được dưới dạng số thập phân vô hạn không tuần hoàn.


Câu hỏi 1: Kết quả của mỗi phép chia sau là số thập phân hữu hạn hay vô hạn?

a) 39:5. 

b) 28:6. 

Giải

a) 39:5=7,8.  Kết quả (7,8)  là số thập phân hữu hạn.

b) 28:6=4,6666…  Kết quả (4,6666…) là số thập phân vô hạn.

PHÂN BIỆT TUẦN HOÀN VÀ KHÔNG TUẦN HOÀN

Có hai loại số thập phân vô hạn, đó là số thập phân vô hạn tuần hoàn và số thập phân vô hạn không tuần hoàn.

Số thập phân vô hạn tuần hoàn thì phần thập phân của nó có một (hoặc một số) chữ số lặp đi lặp lại. Số thập phân vô hạn không tuần hoàn thì phần thập phân của nó không có sự lặp lại.

Khi viết liên tiếp tăng dần các số tự nhiên chẵn vào sau dấu phẩy thì phần thập phân sẽ kéo dài mãi mãi và không có sự lặp lại. Vậy số −10,2468…−10,2468… là số thập phân vô hạn không tuần hoàn.

🤔 Có hai loại số thập phân vô hạn, đó là vô hạn tuần hoàn và vô hạn không tuần hoàn.

Số 1,333…  trong Ví dụ 2 là số thập phân vô hạn tuần hoàn vì chữ số 3 trong phần thập phân của nó lặp đi lặp lại.

Số −0,12345…  trong Ví dụ 3 là số thập phân vô hạn không tuần hoàn vì phần thập phân của nó không có sự lặp lại.

Câu hỏi 2: Mỗi số sau là số thập phân vô hạn tuần hoàn hay số thập phân vô hạn không tuần hoàn?

a) 4,151515151515… 
b) 7,31252349… 
c) 0,023333333… 

Giải

a) 4,151515151515… là số thập phân vô hạn tuần hoàn (vì 15  lặp đi lặp lại).

b) 7,31252349… là số thập phân vô hạn không tuần hoàn (vì phần thập phân không có dấu hiệu lặp lại).

c) 0,023333333… là số thập phân vô hạn tuần hoàn (vì 3  lặp đi lặp lại).

🤔 Khi viết số thập phân vô hạn tuần hoàn, đặt “chu kỳ” vào trong cặp dấu ngoặc đơn và bỏ dấu ba chấm.

Câu hỏi 3: Viết lại các số thập phân vô hạn tuần hoàn sau bằng cách không dùng dấu ba chấm:

a) 4,723723723723… 
b) 51,12345454545… 

Giải
a) 4,(723).4,(723).
b) 51,123(45).

🤔 Tóm lại, chúng ta có ba loại số thập phân, gồm: số thập phân hữu hạn, số thập phân vô hạn tuần hoàn, và số thập vô hạn không tuần hoàn.

Câu hỏi 4: Hãy cho biết mỗi số sau là số thập phân hữu hạn, vô hạn tuần hoàn hay vô hạn không tuần hoàn?

a) 15,14563. 
b) 4,0992299229922… 
c) 67,3(890). 
d) 3,1638721514… 

Giải
a) 15,14563 là số thập phân hữu hạn.
b) 4,0992299229922… là số thập phân vô hạn tuần hoàn với chu kỳ là 9922. 
c) 67,3(890)  là số thập phân vô hạn tuần hoàn với chu kỳ là 890. 
d) 3,1638721514… là số thập phân vô hạn không tuần hoàn.

ĐỐI CHIẾU VỚI CÁC LOẠI SỐ ĐÃ HỌC

🤔 Mỗi số hữu tỷ là số thập phân hữu hạn hoặc vô hạn tuần hoàn. Ngược lại, các số thập phân hữu hạn và vô hạn tuần hoàn đều là số hữu tỷ (tức là có thể viết lại được dưới dạng phân số).

🤔 Mỗi số vô tỷ là số thập phân vô hạn không tuần hoàn. Ngược lại, các số thập phân vô hạn không tuần hoàn đều là số vô tỷ.

Ví dụ 1: Hãy biểu diễn mỗi số hữu tỷ sau dưới dạng số thập phân: $\frac{-12}{25};$ $-\frac{27}{2};$ $\frac{10}{9}.$

Hướng dẫn:

Dùng máy tính cầm tay, lấy tử số chia cho mẫu số để nhận được kết quả.

Giải:

$\frac{-12}{25}=-0,48.$

$-\frac{27}{2}=-13,5.$

$\frac{10}{9}=1,11111\dots =1,\left(1\right).$

Ví dụ 2: Hoàn thành các phát biểu sau bằng cách điền “vô tỷ” hoặc “hữu tỷ” vào $..?..$

a) Số $a=1,234$ là một số thập phân hữu hạn nên $a$ là số $..?..$

b) Số $b=6,15555\dots =6,1\left(5\right)$ là một số thập phân vô hạn tuần hoàn nên $b$ là số $..?..$

c) Người ta chứng minh được $\pi =3,14159265\dots$ là một số thập phân vô hạn không tuần hoàn. Vậy $\pi$ là số $..?..$

d) Cho biết $c=2,23606\dots$ là một số thập phân vô hạn không tuần hoàn. Vậy $c$ là số $..?..$

Giải:

a) Số $a=1,234$ là một số thập phân hữu hạn nên $a$ là số “hữu tỷ“.

b) Số $b=6,15555\dots =6,1\left(5\right)$ là một số thập phân vô hạn tuần hoàn nên $b$ là số “hữu tỷ“.

c) Người ta chứng minh được $\pi =3,14159265\dots$ là một số thập phân vô hạn không tuần hoàn. Vậy $\pi$ là số “vô tỷ“.

d) Cho biết $c=2,23606\dots$ là một số thập phân vô hạn không tuần hoàn. Vậy $c$ là số “vô tỷ“.

Bài tập:

1)- Biểu diễn mỗi số hữu tỷ sau dưới dạng số thập phân và cho biết chúng thuộc loại số thập phân nào: $\frac{19}{25};$ $-\frac{27}{6};$ $\frac{8}{-7}.$

2)- Số $-0,1010010001\dots$ (sau dấu phẩy viết liên tiếp các số $10;100;1000;\dots )$ thuộc loại số thập phân nào? Đó là số hữu tỷ hay số vô tỷ?

Giải:

1)-
+) 1925=0,76. Đây là số thập phân hữu hạn.
+) −276=−4,5.  Đây là số thập phân hữu hạn.

+) $\frac{8}{-7}=-1,142857142857\dots$ Đây là số thập phân vô hạn tuần hoàn (chu kỳ là 142857). .

2)- Số $-0,1010010001\dots$ là số thập phân vô hạn không tuần hoàn. Do đó, nó là một số vô tỷ.

 Giải

a) Số $a=1,234$ là một số thập phân hữu hạn nên $a$ là số hữu tỷ.

b) Số $b=6,15555\dots =6,1\left(5\right)$ là một số thập phân vô hạn tuần hoàn nên $b$ là số hữu tỷ.

c) Người ta chứng minh được $\pi =3,14159265\dots$ là một số thập phân vô hạn không tuần hoàn. Vậy $\pi$ là số vô tỷ.

d) Cho biết $c=2,23606\dots$ là một số thập phân vô hạn không tuần hoàn. Vậy $c$ là số vô tỷ.