* SỐ CHÍNH PHƯƠNG_DẠNG 2

 

DẠNG 2 : CHỨNG MINH MỘT SỐ KHÔNG PHẢI LÀ
SỐ CHÍNH PHƯƠNG

Bài 1: Chứng minh
số : n = 2004² + 2003² + 2002² - 2001²  không phải là số chính phương.

Bài 2: Chứng minh số 1234567890 không phải
là số chính phương.

Thấy ngay số 1234567890 chia hết cho 5 (vì chữ số tận cùng là 0) nhưng không chia hết cho 25 (vì hai chữ số tận cùng là 90). Do đó số 1234567890 không phải là số chính phương.

Bài 3: Chứng minh rằng nếu một số có tổng
các chữ số là 2004 thì số đó không phải là số chính phương.

Ta thấy tổng các chữ số của số 2004 là 6 nên 2004 chia hết cho 3 mà không chia hết 9 nên số có tổng các chữ số là 2004 cũng chia hết cho 3 mà không chia hết cho 9, do đó số này không phải là số chính phương.

Bài 4: Chứng minh một số có tổng các chữ số
là 2006 không phải là số chính phương.

Vì số chính phương khi chia cho 3 chỉ có số dư là 0 hoặc 1. Do tổng các chữ số của số đó là 2006 nên số đó chia cho 3 dư 2. Chứng tỏ số đã cho không phải là số chính phương.

 

Bài 5: Chứng minh tổng các số tự nhiên liên
tiếp từ 1 đến 2005 không phải là số chính phương.

Ta có:

1+2+3+...+2005≡(2005+1).2005:2≡2006.2005:2 

≡1003.2005≡3.1≡3

(mod 4) 

Vậy tổng của các số từ 1 đến 2005 có dạng 4k+3 (k∈N) nên không là số chính phương (đpcm)

Bài 6: Chứng minh số :   n = 4⁴ + 44⁴⁴ + 444⁴⁴⁴
+ 4444⁴⁴⁴⁴ + 15 không là số chính phương.

n≡4⁴ + 44⁴⁴ + 444⁴⁴⁴ + 4444⁴⁴⁴⁴ + 15 ≡ 0⁴ + 0⁴⁴ + 0⁴⁴⁴ + 0⁴⁴⁴⁴+3≡3

(mod 4)

Vậy n=4k+3 (k∈N) nên n không là số chính phương (đpcm)

Bài 8: Chứng
minh số 4014025 không là số chính phương.

Ta có: 20032 = 4012009; 20042 = 4016016 mà 4012009 < 4014025 < 4016016 nên 20032< 4014025 < 20042 . Vậy 4014025 không là số chính phương.

Bài 9: Chứng
minh A = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) không là số chính phương với mọi số tự nhiên n
khác 0.

 Ta có : A + 1 = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 = (n² + 3n)(n² + 3n + 2) + 1 = (n² + 3n)² + 2(n2 + 3n) +1 = (n2 + 3n +1)².

Mặt khác :

(n² + 3n)² < (n² + 3n)² + 2(n² + 3n) = A.

Điều này hiển nhiên đúng vì n ≥ 1. Chứng tỏ : (n² + 3n)² < A < A + 1 = (n² + 3n +1)². => A không là số chính phương.

 

Bài 10: Giả sử N = 1.3.5.7 . . . 2007. 2011

Chứng minh rằng
trong 3 số nguyên liên tiếp 2N - 1, 2N và 2N + 1 không có số nào là số chính
phương.

a) 2N - 1 = 2.1.3.5.7 . . . 2011 - 1

Có 2N   3 => 2N - 1 = 3k + 2 (k   N)

=> 2N - 1 không là số chính phương.

b) 2N = 2.1.3.5.7 . . . 2011   => 2N chẵn.

=> N lẻ => N không chia hết cho 2 và 2N   2 nhưng 2N không chia hết cho 4.

2N chẵn nên 2N không chia cho 4 dư 1 hoặc dư 3 => 2N không là số chính phương.

c) 2N + 1 = 2.1.3.5.7 . . . 2011 + 1

2N + 1 lẻ nên 2N + 1 không chia hết cho 4

2N không chia hết cho 4  nên 2N + 1 không chia cho 4 dư 1.

=> 2N + 1 không là số chính phương.

Bài 11: Chứng minh rằng tổng bình phương của
2 số lẻ bất kỳ không phải là số chính phương.

Gọi 2 số lẻ bất kì là a, b.

          a có dạng 2m + 1, b có dạng 2n + 1 (với m, n thuộc N)

          a²+ b² = (2m + 1).(2m + 1) + (2n + 1)(2n + 1)

          = 4m² + 4m + 1 + 4n² + 4n + 1

          = 4(m² + m + n² + n) + 2 = 4.t + 2 (t∈ N)

Không có số chính phương nào có dạng 4t + 2 (t∈ N).

Do đó a²+ b² không thể là số chính phương. => đpcm.

Bài 12: Chứng minh rằng số có dạng n⁶
- n⁴ + 2n³ + 2n² trong đó n   N và n >1 không phải
là số chính phương.

n⁶ – n⁴ + 2n³ +2n² = n².( n⁴ – n² + 2n +2 ) = n².[ n²(n-1)(n+1) + 2(n+1) ]

                             = n²[ (n+1)(n³ – n² + 2) ] = n²(n+1).[ (n³+1) – (n²-1) ]

                             = n²( n+1 )².( n²–2n+2)

Với n N, n >1 thì n²-2n+2 = (n - 1)²  + 1 > ( n – 1 )²

                           và n² – 2n + 2 = n² – 2(n - 1) < n²

Vậy ( n – 1)²< n² – 2n + 2 < n² => n² – 2n + 2 không phải là một số chính phương.