* SỐ CHÍNH PHƯƠNG_DẠNG 1

 

            Dạng 1: Chứng minh một số
là số chính phương

Bài 1: Chứng minh với mọi số tự nhiên n thì  a_n = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 là số chính
phương.

n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 = n . ( n + 3)(n + 1)(n + 2) + 1

                                          = ( n² + 3N)(n² + 3N + 2) + 1 (*)

                                               = (n² + 3n + 1)²

n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 = n . ( n + 3)(n + 1)(n + 2) + 1

                                          = ( n² + 3N)(n² + 3N + 2) + 1 (*)

                                               = (n² + 3n + 1)²

Vì n  N nên n² + 3n + 1   N.  Vậy n(n + 1)(n + 2)(+ 3) + 1 là số chính phương.

Bài 2: Cho S = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + ...+ k(k + 1)(k + 2)

Chứng minh rằng 4S + 1 là số chính phương.

=> 4S =1.2.3.4 - 0.1.2.3 + 2.3.4.5 - 1.2.3.4 + . . . + k(k + 1)(k + 2)(k + 3)

             - k(k + 1)(k + 2)(k - 1) = k(k + 1)(k + 2)(k + 3)

=> 4S + 1 = k(k + 1)(k + 2)(k + 3) + 1

Theo kết quả bài 2 => k(k + 1)(k + 2)(k + 3) + 1 là số chính phương.

Chứng minh rằng 4S + 1 là số chính phương.

Ta có: k(k + 1)(k + 2) =  k (k + 1)(k + 2). 4=  k(k + 1)(k + 2).[(k+3)-(k-1)] 

                                   =  k(k + 1)(k + 2)(k + 3) -   k(k + 1)(k + 2)(k - 1)

=> 4S =1.2.3.4 - 0.1.2.3 + 2.3.4.5 - 1.2.3.4 + . . . + k(k + 1)(k + 2)(k + 3)

             - k(k + 1)(k + 2)(k - 1) = k(k + 1)(k + 2)(k + 3)

=> 4S + 1 = k(k + 1)(k + 2)(k + 3) + 1

Theo kết quả bài 2 => k(k + 1)(k + 2)(k + 3) + 1 là số chính phương.

Bài 3: Cho dãy số 49; 
4489;  444889;  44448889; . . .

Dãy số trên được xây dựng bằng cách thêm số 48 vào giữa các
chữ số đứng trước và đứng sau nó. Chứng minh rằng tất cả các số của dãy trên đều
là số chính phương.

Ta thấy:

Bài 4: Chứng minh rằng : Nếu m, n là các số tự nhiên thỏa
mãn 3m² + m = 4n² + n thì m - n và 4m + 4n + 1 đều là số
chính phương.

Ta có : 3m² + m = 4n² + n tương đương với 4(m² - n²) + (m - n) = m² hay là (m - n)(4m + 4n + 1) = m² (*)

Gọi d là ước chung lớn nhất của m - n và 4m + 4n + 1 thì (4m + 4n + 1) + 4(m - n) chia hết cho d

=> 8m + 1 chia hết cho d.

Mặt khác, từ (*) ta có : m² chia hết cho d² => m chia hết cho d.

Từ 8m + 1 chia hết cho d và m chia hết cho d ta có 1 chia hết cho d => d = 1.

Vậy m - n và 4m + 4n + 1 là các số tự nhiên nguyên tố cùng nhau, thỏa mãn (*)  nên chúng đều là các số chính phương.