Bài 1: Ta biết rằng có 25 số nguyên tố nhỏ hơn 100. Tổng của 25 số nguyên tố đó là số chẵn hay lẻ?
Ta thấy trong 25 số nguyên tố có 1 số chẵn còn lại là 24 số lẻ. Tổng của 24 số lẻ là một số chẵn nên tổng của 25 số nguyên tố nhỏ hơn 100 là số chẵn.
Bài 2: Tổng của ba số nguyên tố bằng 1012. Tìm số nhỏ nhất trong ba số nguyên tố đó.
Vì tổng của 3 số nguyên tố bằng 1012, nên trong 3 số nguyên tố đó tồn tại ít nhất một số nguyên tố chẵn.
Mã số nguyên tố chẵn duy nhất là 2 và là số nguyên tố nhỏ nhất.
Vậy số nguyên tố nhỏ nhất trong 3 số nguyên tố đó là 2
Bài 3: Tìm bốn số nguyên tố liên tiếp, sao cho tổng của chúng là số nguyên tố.
Tổng của 4 số nguyên tố là một số nguyên tố => tổng của 4 số nguyên tố là 1 số lẻ
=> trong 4 số đó tồn tại ít nhất một số nguyên tố chẵn. Mã số nguyên tố chẵn duy nhất là 2.
Vậy 4 số nguyên tố cần tìm là: 2; 3; 5; 7
Bài 4: Tổng của hai số nguyên tố có thể bằng 2003 được không?
Vì tổng của 2 số nguyên tố bằng 2003, nên trong 2 số nguyên tố đó tồn tại 1 số nguyên tố chẵn.
Mà số nguyên tố chẵn duy nhất là 2.
Do đó số nguyên tố còn lại là 2001.
Do 2001 chia hết cho 3 và 2001 > 3.
Suy ra 2001 không phải là số nguyên tố.
=> Tổng của hai số nguyên tố không thể bằng 2003 .
Bài 5: Tìm hai số nguyên tố, sao cho tổng và tích của chúng đều là số nguyên tố.
Gọi a, b, c, d là các số nguyên tố. (a>b)
Theo bài ra ta có:
(*) => c + b = d - b
Từ (*) => a > 2, a là số nguyên tố lẻ => c + b và d – b là số lẻ. Do b, c, d đều là số nguyên tố nên để c + b và d – b là số lẻ thì => b chẵn. Vậy b = 2
a. Bài toán đưa về dạng tìm một số nguyên tố a sao cho a – 2 và a + 2 cũng là số nguyên tố.
§Nếu a = 5 => a – 2 = 3; a + 2 = 7 đều là số nguyên tố
§Nếu a ≠ 5 . Xét 2 trường hợp
+ a chia 3 dư 1 => a + 2 chia hết cho 3 : không là số nguyên tố
+ a chia 3 dư 2 => a – 2 chia hết cho 3: không là số nguyên tố
Vậy chỉ có số nguyên tố a duy nhất thoả mãn là 5.
Hai số nguyên tố cần tìm là 5; 2
Bài 6: Tìm số nguyên tố có ba chữ số, biết rằng nếu viết số đó theo thứ tự ngược lại thì ta được một số là lập phương của một số tự nhiên.
Gọi số tự nhiên đó là a.
Ta có 103 = 1000; 53 = 125 => 125 ≤ a3 < 1000 =>5 ≤ a<10
Ta có bảng sau:
a
5
6
7
8
9
a3
125
216
343
512
729
Số cần tìm
521
612
343
215
927
Kết luận
TM
loại
loại
loại
loại
Vậy số cần tìm là 521
Bài 7: Tìm số tự nhiên có bốn chữ số, chữ số hàng nghìn bằng chữ số hàng đơn vị, chữ số hàng trăm bằng chữ số hàng chục và số đó viết được dưới dạng tích của ba số nguyên tố liên tiếp.
Gọi số tự nhiên cần tìm là ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯abba(a,b∈N,a≠0).
Ta có: ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯abba=1000a+100b+10c+a=1001a+101b=11(91a+10b)⋮11
⇒¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯abba là tích của 3 số nguyên tố liên tiếp có chứa số 11.
TH1: 5.7.11=385 (loại)
TH2: 7.11.13=1001 (thỏa mãn)
TH3: 11.13.17=2431 (loại)
Vậy số cần tìm là 1001.
Bài 8: Một số nguyên tố p chia cho 42 có số dư r là hợp số. Tìm số dư r.
Ta có:
p = 42.k + r. = 2.3.7.k + r
Vì r là hợp số và r < 42 nên r phải là tích của 2 số r = x.y
x và y không thể là 2, 3, 7 và cũng không thể là số chia hết cho 2, 3, 7 được vì nếu thế thì p không là số nguyên tố.
Vậy x và y có thể là các số trong các số {5,11,13, ..}
Nếu x=5 và y=11 thì r = x.y =55>42
Vậy chỉ còn trường hợp x = 5, y = 5. Khi đó r = 25
Bài 9: Hai số nguyên tố sinh đôi là hai số nguyên tố hơn kém nhau 2 đơn vị. Tìm hai số nguyên tố sinh đôi nhỏ hơn 50.
Các số nguyên tố sinh đôi nhỏ hơn 50 là: 5 và 7; 11 và 13; 17 và 19; 29 và 31; 41 và 43.
Bài 10: Tìm số nguyên tố, biết rằng số đó bằng tổng của hai chữ số nguyên tốt và bằng hiệu của hai số nguyên tố.
Giả sử a, b, c, d, e là các số nguyên tố (d > e)
Theo bài ra ta có: a = b + c = d – e (*)
Từ (*) => a > 2 => a là số nguyên tố lẻ
vb + c = d – e là số lẻ.
do b, d là các số nguyên tố => b, d là số lẻ => c, e là số chẵn.
vc =e = 2 (do e, c là các số nguyên tố)
va = b + c = d – 2 => d = b + 4
vậy ta cần tìm số nguyên tố b sao cho b + 2, b + 4 cũng là số nguyên tố
vb = 3
Vậy số nguyên tố cần tìm là 5
Bài 11: Tìm số nguyên tố p, sao cho các số sau cũng là số nguyên tố:
p + 2 và p + 10
a. p + 2 và p + 10
§Nếu p = 2 thì p + 2 = 4 và p + 10 = 12 đều không phải là số nguyên tố.
§Nếu p ≥ 3 thì số nguyên tố p có một trong 3 dạng : 3k, 3k + 1, 3k + 2 với k
N*
+ Nếu p = 3k => p = 3; p + 2 = 5; p + 10 = 13 đều là số nguyên tố.
+ Nếu p = 3k + 1 => p + 2 = 3k + 3 chia hết cho 3: không là số nguyên tố.
+ Nếu p = 3k + 2 => p + 10 = 3k + 12 chia hết cho 3: không là số nguyên tố
Vậy p = 3
p + 10 và p + 14
a. p + 10 và p + 14
Nếu p = 2 thì p + 10 = 12 và p + 14 = 16 đều không phải là số nguyên tố.
Nếu p ≥ 3 thì số nguyên tố p có một trong 3 dạng : 3k, 3k + 1, 3k + 2 với k
N*
+ Nếu p = 3k => p = 3; p + 10 = 13; p + 14= 17 đều là số nguyên tố.
+ Nếu p = 3k + 1 => p + 14 = 3k + 15 chia hết cho 3: không là số nguyên tố.
+ Nếu p = 3k + 2 => p + 10 = 3k + 12 chia hết cho 3: không là số nguyên tố
Vậy p = 3
p + 10 và p + 20
c. p + 10 và p + 20
Nếu p = 2 thì p + 2 = 12 và p + 10 = 22 đều không phải là số nguyên tố.
Nếu p ≥ 3 thì số nguyên tố p có một trong 3 dạng : 3k, 3k + 1, 3k + 2 với k
N*
+ Nếu p = 3k => p = 3; p + 10 = 13; p + 20 = 23 đều là số nguyên tố.
+ Nếu p = 3k + 1 => p + 20 = 3k + 21 chia hết cho 3: không là số nguyên tố.
+ Nếu p = 3k + 2 => p + 10 = 3k + 12 chia hết cho 3: không là số nguyên tố
Vậy p = 3
p + 2, p + 6, p + 8, p + 12, p + 14
d. p + 2, p + 6, p + 8, p + 12, p + 14
+Nếu p = 2⇒p + 2 = 4 (loại)
+Nếu p = 3⇒p + 6 = 9 (loại)
+Nếu p = 5⇒p + 2 = 7, p + 6 = 11, p + 8 = 13, p + 12 = 17, p + 14 = 19 (thỏa mãn)
+Nếu p > 5, ta có vì p là số nguyên tố nên⇒p không chia hết cho 5⇒p = 5k+1, p = 5k+2, p = 5k+3, p = 5k+4
-Với p = 5k + 1, ta có: p + 14 = 5k + 15 = 5 ( k+3)⋮5 (loại)
-Với p = 5k + 2, ta có: p + 8 = 5k + 10 = 5 ( k+2 )⋮5 (loại)
-Với p = 5k + 3, ta có: p + 12 = 5k + 15 = 5 ( k+3)⋮5 (loại)
-Với p = 5k + 4, ta có: p + 6 = 5k + 10 = 5 ( k+2)⋮5 (loại)
⇒không có giá trị nguyên tố p lớn hơn 5 thỏa mãn
Vậy p = 5 là giá trị cần tìm
Bài 12: Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3. Biết p + 2 cũng là số nguyên tố. Chứng minh rằng p + 1 chia hết cho 6.
Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p có dạng 6k-1 hoặc 6k+1nếu p=6k+1 thì p+2=6k+3=3(2k+1) chia hết cho 3 và lớn hơn 3 nên là hợp số(vô lí) Do đó p=6k-1=>p+1=6k chia hết cho 6(đpcm)
Bài 13: Cho a + b = p, p là một số nguyên tố. Chứng minh a và b nguyên tố cùng nhau.
Gọi d là ước chung lớn nhất của a và b.
Theo bài ra ta có: a, b < p
v
Bài 14: Tìm 3 số nguyên tố sao cho tích của chúng gấp 5 lần tổng của chúng?
Gọi 3 số nguyên tố đó là a,b,c
Ta có: abc =5(a+b+c)
=> abc chia hết cho 5, do a,b,c nguyên tố
=> chỉ có trường hợp 1 trong 3 số =5, giả sử là a =5
=> bc = b+c +5 => (b-1)(c-1) = 6
{b-1 =1 => b=2; c-1 =6 => c=7
{b-1=2, c-1=3 => c=4 (loại)
Vậy 3 số nguyên tố đó là 2, 5, 7
Bài 15: Số a4 + a2 + 1 có thể là một số nguyên tố hay không?
Số a4 + a2 + 1 có thể là một số nguyên tố vì với a = 1 thì a4 + a2 + 1 = 1 + 1 + 1 = 3 là số nguyên tố.
0 Comments:
Đăng nhận xét