C2 Bài 2: Bất phương trình bậc nhất một ẩn

 Khởi động trang 30 Toán 9 Tập 1: Để hưởng ứng phong trào “Trồng cây gây rừng”, lớp 9A có kế hoạch trồng ít nhất 100 cây xanh. Lớp 9A đã trồng được 54 cây. Để đạt được kế hoạch đề ra, lớp 9A cần trồng thêm ít nhất bao nhiêu cây xanh nữa?

Lời giải:

Ta có: 100 – 54 = 46 (cây).

Vậy để đạt được kế hoạch đề ra là trồng được ít nhất 100 cây xanh thì lớp 9A phải trồng thêm ít nhất 46 cây xanh.

1. Bất phương trình bậc nhất một ẩn, nghiệm của bất phương trình bậc nhất một ẩn

Thực hành 1 trang 31 Toán 9 Tập 1: Bất đẳng thức nào sau đây là bất phương trình bậc nhất một ẩn?

0x < 0;                   3x < 0;

x3 + 1 ≥ 0;              −x + 1 ≤ 0.

Lời giải:

• Bất phương trình 0x < 0 không phải là phương trình bậc nhất một ẩn vì a = 0.

• Bất phương trình 3x < 0 là phương trình bậc nhất một ẩn với a = 3 ≠ 0; b = 0.

• Bất phương trình x3 + 1 ≥ 0 không phải là phương trình bậc nhất một ẩn vì hạng tử chứa ẩn x là x3, có bậc là 3.

• Bất phương trình −x + 1 ≤ 0 là phương trình bậc nhất một ẩn với a = −1 ≠ 0; b = 1.

Vậy các bất đẳng thức 3x < 0, −x + 1 ≤ 0 là bất phương trình bậc nhất một ẩn.

Khám phá 2 trang 31 Toán 9 Tập 1: Cho bất phương trình x + 3 > 0.           (1)

Trong hai giá trị x = 0 và x = –5, giá trị nào thỏa mãn bất phương trình?

Lời giải:

• Thay x = 0 vào bất phương trình (1), ta được 0 + 3 > 0 hay 3 > 0 là khẳng định đúng.

Do đó, x = 0 thoả mãn bất phương trình (1).

• Thay x = –5 vào bất phương trình (1), ta được –5 + 3 > 0 hay –2 > 0 là khẳng định sai.

Do đó, x = –5 không thoả mãn bất phương trình (1).

Thực hành 2 trang 31 Toán 9 Tập 1: Tìm một số là nghiệm và một số không phải là nghiệm của bất phương trình 4x + 5 > 0.

Lời giải:

• Thay x = 0 vào bất phương trình 4x + 5 > 0, ta được 4.0 + 5 > 0 hay 5 > 0 là khẳng định đúng.

Do đó, x = 0 là nghiệm của bất phương trình đã cho.

• Thay x = –3 vào bất phương trình 4x + 5 > 0, ta được 4.(–3) + 5 > 0 hay –7 > 0 là khẳng định sai.

Do đó, x = –3 không là nghiệm của bất phương trình đã cho.

2. Giải phương trình bậc nhất một ẩn

Khám phá 3 trang 32 Toán 9 Tập 1: Hãy cho biết bất đẳng thức nhận được khi thực hiện các phép biến đổi sau:

a) Cộng hai vế của bất đẳng thức x + 1 > 0 với –1;

b) Nhân hai vế của bất đẳng thức 2x > 1 với $\frac{1}{2}$ ;

c) Nhân hai vế của bất đẳng thức $-\frac{3}{2}x\le 1$  với $-\frac{2}{3}$ .

Lời giải:

a) Cộng hai vế của bất đẳng thức x + 1 > 0 với –1, ta được:

x + 1 + (–1) > 0 + (–1)

x > –1.

Vậy bất đẳng thức nhận được khi thực hiện phép biến đổi trên là x > –1.

b) Nhân hai vế của bất đẳng thức 2x > 1 với $\frac{1}{2}$ , ta được:

$2x.\frac{1}{2}>1.\frac{1}{2}$

x > $\frac{1}{2}$

Vậy bất đẳng thức nhận được khi thực hiện phép biến đổi trên là  x > $\frac{1}{2}$.

c) Nhân hai vế của bất đẳng thức $-\frac{3}{2}x\le 1$  với $-\frac{2}{3}$ , ta được:

$-\frac{3}{2}x.\left(-\frac{2}{3}\right)\ge 1.\left(-\frac{2}{3}\right)$(vì nhân hai vế của một đẳng thức với một số âm)

$x\ge -\frac{2}{3}.$

Vậy bất đẳng thức nhận được khi thực hiện phép biến đổi trên là $x\ge -\frac{2}{3}.$ .

Thực hành 4 trang 33 Toán 9 Tập 1: Giải bất phương trình 5 + 7x > 4x – 7.

Lời giải:

Ta có: 5 + 7x > 4x – 7

           7x – 4x > –7 – 5

           3x > –12

           x > –4.

Vậy nghiệm của bất phương trình là x > –4.

Vận dụng trang 33 Toán 9 Tập 1: Giải bài toán trong Hoạt động khởi động (trang 30) bằng cách lập bất phương trình bậc nhất một ẩn.

Lời giải:

Gọi x là số cây xanh lớp 9A cần trồng thêm (x > 0, x ∈ ℕ).

Số cây xanh lớp 9A trồng được theo x là: x + 54 (cây xanh).

Theo kế hoạch, lớp 9A cần trồng ít nhất 100 cây xanh nên ta phải có:

x + 54 ≥ 100

x ≥  46.

Vậy để lớp 9A đạt được kế hoạch đề ra thì phải trồng thêm ít nhất 46 cây xanh.

Bài tập

Bài 1 trang 34 Toán 9 Tập 1: Bất phương trình nào sau đây là bất phương trình bậc nhất một ẩn?

a) 2x – 5 > 0;

b) 3y + 1 ≥ 0;

c) 0x – 3 < 0;

d) x2 > 0.

Lời giải:

a) 2x – 5 > 0 là bất phương trình ẩn x vì có dạng ax + b > 0 với a = 2 ≠ 0 và b = –5;

b) 3y + 1 ≥ 0 là bất phương trình ẩn y vì có dạng ay + b ≥ 0 với a = 3 ≠ 0 và b = 1;

c) 0x – 3 < 0 không phải phương trình bậc nhất một ẩn vì a = 0;

d) x2 > 0 không phải phương trình bậc nhất một ẩn vì hạng tử chứa ẩn x là x2, có bậc là 2.

Bài 2 trang 34 Toán 9 Tập 1: Tìm x sao cho:

a) Giá trị của biểu thức 2x + 1 là số dương;

b) Giá trị của biểu thức 3x – 5 là số âm.

Lời giải:

a) Giá trị của biểu thức 2x + 1 là số dương. Ta có:

2x + 1 > 0

2x > –1

$x>\frac{-1}{2}$

Vậy nghiệm của bất phương trình là $x>\frac{-1}{2}$.

b) Giá trị của biểu thức 3x – 5 là số âm. Ta có:

3x – 5 < 0

3x < 5

$x<\frac{5}{3}$

Vậy nghiệm của bất phương trình là $x<\frac{5}{3}$ .

Bài 3 trang 34 Toán 9 Tập 1: Giải các bất phương trình:

a) 6 < x – 3;

b) $\frac{1}{2}x>5;$

c) –8x + 1 ≥ 5;

d) 7 < 2x + 1.

Lời giải:

a) Ta có: 6 < x – 3

               6 + 3 < x

               9 < x

               x > 9.

Vậy nghiệm của bất phương trình là x > 9.

b) Ta có $\frac{1}{2}x>5$

              $\frac{1}{2}x\cdot 2>5\cdot 2$

              x > 10.

Vậy nghiệm của bất phương trình là x > 10.

c) Ta có –8x + 1 ≥ 5

             –8x ≥ 4

             $-8x\cdot \left(-\frac{1}{8}\right)\le 4\cdot \left(-\frac{1}{8}\right)$

             $x\le \frac{-1}{2}$

Vậy nghiệm của bất phương trình là $x\le \frac{-1}{2}$ .

d) Ta có 7 < 2x + 1

            –2x < 1 – 7

            –2x < –6

            $–2x\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)>–6\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)$

            x > 3.

Vậy nghiệm của bất phương trình là x > 3.

Bài 4 trang 34 Toán 9 Tập 1: Giải các bất phương trình:

a) x – 7 < 2 – x;

b) x + 2 ≤ 2 + 3x;

c) 4 + x > 5 – 3x;

d) –x + 7 ≥ x – 3.

Lời giải:

a) Ta có: x – 7 < 2 – x

              2x < 9

              $x<\frac{9}{2}$

Vậy nghiệm của bất phương trình là  $x<\frac{9}{2}$.

b) Ta có: x + 2 ≤ 2 + 3x

               2 – 2 ≤ 3x – x

               0 ≤ 2x

               x ≥ 0.

Vậy nghiệm của bất phương trình là x ≥ 0.

c) Ta có: 4 + x > 5 – 3x

               4x > 1

               $x>\frac{1}{4}$.

Vậy nghiệm của bất phương trình là $x>\frac{1}{4}$ .

d) Ta có: –x + 7 ≥ x – 3

              –2x ≥ –10

                x ≤ 5.

Vậy nghiệm của bất phương trình là x ≤ 5.

Bài 5 trang 34 Toán 9 Tập 1: Giải các bất phương trình:

a) $\frac{2}{3}$(2x + 3) < 7 - 4x

b) $\frac{1}{4}$(x - 3) < 3 - 2x

Lời giải:

a) Ta có: $\frac{2}{3}$( 2x + 3) < 7 - 4x

$\frac{4}{3}$x + 2 < 7 - 4x

$\frac{4}{3}$x + 4x < 5

$\frac{16}{3}$x < 5

x < $\frac{15}{16}$

Vậy nghiệm của bất phương trình là x < $\frac{15}{16}$ .

b) Ta có: $\frac{1}{4}$(x - 3) $\le$ 3 - 2x

$\frac{1}{4}$x - $\frac{3}{4}$ $\le$3 - 2x

$\frac{1}{4}$x + 2x $\le$ 3 + $\frac{3}{4}$

$\frac{9}{4}$x $\le$ $\frac{15}{4}$

x $\le$$\frac{15}{4}:\frac{9}{4}$

x $\le$ $\frac{5}{3}$

Vậy nghiệm của bất phương trình là x $\le$ $\frac{5}{3}$ .

Bài 6 trang 34 Toán 9 Tập 1: Một kì thi Tiếng Anh gồm bốn kĩ năng: nghe, nói, đọc và viết. Kết quả của bài thi là điểm số trung bình của bốn kĩ năng này. Bạn Hà đã đạt được điểm số của ba kĩ năng nghe, đọc, viết lần lượt là 6,5; 6,5; 5,5. Hỏi bạn Hà cần đạt bao nhiêu điểm trong kĩ năng nói để kết quả đạt được của bài thi ít nhất là 6,25?

Lời giải:

Gọi x là điểm của kĩ năng nói (x > 0).

Theo đề bài ta có $\frac{6,5.2+5,5+x}{4}\ge 6,25$

18,5 + x ≥ 25

x ≥ 25 – 18,5

x ≥ 6,5.

Vậy bạn Hà cần đạt ít nhất 6,5 điểm kĩ năng nói.