Giải bài tập Toán lớp 8 Bài 2: Diện tích xung quanh và thể tích của hình chóp tam giác đều, hình chóp tứ giác đều

Giải Toán 8 trang 49 Tập 1

Khởi động trang 49 Toán 8 Tập 1: a) Bạn Mai cần dán giấy bóng kính màu xung quanh một chiếc lồng đèn hình chóp tam giác đều với kích thước như hình bên. Hỏi diện tích giấy mà Mai cần là bao nhiêu?

b) Bạn Hùng dùng một cái gàu hình chóp tứ giác đều để múc nước đổ vào một thùng chứa hình lăng trụ có cùng diện tích đáy và chiều cao như hình bên. Hãy dự đoán xem bạn Hùng phải đổ bao nhiêu gàu thì nước đầy thùng.

Lời giải:

a) Diện tích giấy mà Mai cần dùng là diện tích tất cả các mặt hình tam giác của chiếc lồng đèn hình chóp tam giác đều.

Diện tích mặt đáy của chiếc lồng đèn đó là: $\frac{1}{2}.13,9.16=111,2$ (cm2).

Diện tích một mặt bên của chiếc lồng đèn đó là: $\frac{1}{2}\mathrm{.10.16}=80$ (cm2).

Diện tích ba mặt bên của chiếc lồng đèn đó là: 3.80 = 240 (cm2).

Diện tích giấy mà Mai cần là: 111,2 + 240 = 351,2 (cm2).

b) Sau bài học này chúng ta sẽ giải quyết câu hỏi như sau:

Dự đoán: Bạn Hùng phải đổ 3 gàu thì nước đầy thùng.

Giải thích: Thể tích của cái gàu hình chóp tứ giác đều là: $V=\frac{1}{3}.S_{đáy}.h$.

Thể tích của thùng chứa hình lăng trụ đứng tứ giác là: $\mathrm{V\text{'}}=S_{đáy}.h$.

Vậy số gàu nước cần đổ để thùng đầy nước là: $\frac{V^{\prime }}{V}=\frac{S_{đáy}.h}{\frac{1}{3}.S_{đáy}.h}=3$ (gàu).

1. Diện tích xung quanh của hình chóp tam giác đều và hình chóp tứ giác đều

Khám phá 1 trang 49 Toán 8 Tập 1: Nam làm một chiếc hộp hình chóp tứ giác đều như Hình la, sau đó Nam trải các mặt của chiếc hộp với các số đo đã cho như Hình 1b. Hãy cho biết:

a) Hình này có bao nhiêu mặt bên.

b) Diện tích của mỗi mặt bên.

c) Diện tích của tất cả mặt các bên.

d) Diện tích đáy của hình này.

Lời giải:

a) Hình này có 4 mặt bên.

b) Diện tích của mỗi mặt bên là: $\frac{1}{2}\mathrm{.4.5}=10$ (cm2).

c) Diện tích của tất cả mặt các bên là: 4.10 = 40 (cm2).

d) Diện tích đáy của hình chóp tứ giác đều trên là: 4.4 = 16 (cm2).

Giải Toán 8 trang 50 Tập 1

Thực hành 1 trang 50 Toán 8 Tập 1: Một tấm bìa (Hình 2) gấp thành hình chóp tam giác đều với các mặt đều là hình tam giác đều. Với số đo trên hình vẽ, hãy tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình này.

Lời giải:

Diện tích xung quanh của hình chóp tam giác đều trên là:

$S_{xq}=4.\frac{1}{2}.8,7.10=174$ (cm2).

Diện tích toàn phần của hình chóp tam giác đều trên là:

$S_{tp}=S_{xq}+S_{đáy}=174+\frac{1}{2}.8,7.10=217,5$ (cm2).

2. Thể tích của hình chóp tam giác đều và hình chóp tứ giác đều

Khám phá 2 trang 50 Toán 8 Tập 1: Bạn Hùng có một cái gàu có dạng hình chóp tứ giác đều và một cái thùng (không chứa nước) có dạng hình lăng trụ đứng. Hai vật này có cùng diện tích đáy và chiều cao (Hình 3a).

Hùng múc đầy một gàu nước và đổ vào thùng thì thấy chiều cao của cột nước bằng $\frac{1}{3}$ chiều cao của thùng (Hình 3b). Gọi Sđáy­ là diện tích đáy và h là chiều cao của cái gàu.

a) Tính thể tích V của phần nước đổ vào theo Sđáy và h.

b) Từ câu a), hãy dự đoán thể tích của cái gàu.

Lời giải:

a) Thể tích của phần nước đổ vào là: $V=S_{đáy}.\frac{1}{3}h=\frac{1}{3}.S_{đáy}.h$.

b) Dự đoán: Thể tích của cái gàu là: $V=\frac{1}{3}.S_{đáy}.h$.

Giải Toán 8 trang 52 Tập 1

Thực hành 2 trang 52 Toán 8 Tập 1: Tính thể tích của một chiếc hộp bánh ít có dạng hình chóp tứ giác đều, có độ dài cạnh đáy là 3 cm và chiều cao là 2,5 cm.

Lời giải:

Thể tích của chiếc hộp bánh ít có dạng hình chóp tứ giác đều như Hình 6 là:

$V=\frac{1}{3}.S_{đáy}.h=\frac{1}{3}{.3}^2.2,5=7,5$ (cm3).

Thực hành 3 trang 52 Toán 8 Tập 1: Hãy giải bài toán ở phần Hoạt động khởi động (trang 49).

Lời giải:

a) Diện tích mặt đáy của chiếc lồng đèn đó là:

$S_{đáy}=\frac{1}{2}.13,9.16=111,2$ (cm2).

Diện tích xung quanh (ba mặt bên) của chiếc lồng đèn đó là:

$S_{xq}=3.\frac{1}{2}\mathrm{.10.16}=240$ (cm2).

Diện tích giấy (diện tích toàn phần chiếc lồng đèn) mà Mai cần là:

Stp = Sxq + Sđáy =  240 + 111,2 = 351,2 (cm2).

b) Dự đoán: Bạn Hùng phải đổ 3 gàu thì nước đầy thùng.

Giải thích: Thể tích của cái gàu hình chóp tứ giác đều là: $V=\frac{1}{3}.S_{đáy}.h$.

Thể tích của thùng chứa hình lăng trụ đứng tứ giác là: $V^{\prime }=S_{đáy}.h$.

Vậy số gàu nước cần đổ để thùng đầy nước là: $\frac{V^{\prime }}{V}=\frac{S_{đáy}.h}{\frac{1}{3}.S_{đáy}.h}=3$ (gàu).

Vận dụng 1 trang 52 Toán 8 Tập 1: Một chiếc lều có dạng hình chóp tứ giác đều ở trại hè của học sinh có kích thước như Hình 7.

a) Tính thể tích không khí trong chiếc lều.

b) Tính diện tích vải lều (không tính các mép dán), biết chiều cao của mặt bên xuất phát từ đỉnh của chiếc lều là 3,18 m và lều này không có đáy.

Lời giải:

a) Thể tích không khí trong chiếc lều là:

$V=\frac{1}{3}.S_{đáy}.h=\frac{1}{3}{.3}^2.2,8=8,4$ (m3).

b) Diện tích vải lều (diện tích xung quanh của chiếc lều) không tính các mép dán là:

$S_{xq}=4.\frac{1}{2}.3,18.3=19,08$ (m2).

Vận dụng 2 trang 52 Toán 8 Tập 1: Một bể kính hình hộp chữ nhật có hai cạnh đáy là 60 cm và 30 cm. Trong bể có một khối đá hình chóp tam giác đều với diện tích đáy là 270 cm2, chiều cao 30 cm. Người ta đổ nước vào bể sao cho nước ngập khối đá và đo được mực nước là 60 cm. Khi lấy khối đá ra thì mực nước của bể là bao nhiêu? Biết rằng bề dày của bể và thành bể không đáng kể.

Lời giải:

Diện tích đáy của bể là: $S_{đáy}=60.30=1800$ (cm2).

Thể tích của bể khi chứa khối đá là: 

$V_1=\frac{1}{2}.S_{đáy}.h_1=\frac{1}{3}.1800.60=36000$ (cm3).

Thể tích của khối đá hình chóp tam giác đều là:

$V_2=\frac{1}{3}.S_{đáyđá}.h_{đá}=\frac{1}{3}\mathrm{.270.30}=2700$ (cm3).

Thể tích của bể khi lấy khối đá ra là:

V = V1 – V2 = 36 000 – 2 700 = 33 300 (cm3).

Mực nước của bể khi lấy khối đá ra là:

$h=\frac{V}{S_{đáy}}=\frac{33300}{1800}=18,5$ (cm).

Bài tập

Bài 1 trang 52 Toán 8 Tập 1: a) Tính diện tích xung quanh của mỗi hình chóp tứ giác đều dưới đây.

b) Cho biết chiều cao của hình chóp tứ giác đều trong Hình 9a và Hình 9b lần lượt là 4 cm và 12 cm. Tính thể tích của mỗi hình.

Lời giải:

a) Diện tích xung quanh của hình chóp tứ giác đều ở Hình 9a là:

$S_{xq\left(H.9a\right)}=4.\frac{1}{2}\mathrm{.5.6}=60$ (cm2).

Diện tích xung quanh của hình chóp tứ giác đều ở Hình 9b là:

$S_{xq\left(H.9b\right)}=4.\frac{1}{2}\mathrm{.13.10}=260$ (cm2).

b) Thể tích của hình chóp tứ giác đều ở Hình 9a là:

$V_{H.9a}=\frac{1}{3}{.6}^2.4=72$ (cm3).

Thể tích của hình chóp tứ giác đều ở Hình 9b là:

$V_{H.9b}=\frac{1}{3}{.10}^2.12=400$ (cm3).

Giải Toán 8 trang 53 Tập 1

Bài 2 trang 53 Toán 8 Tập 1: Nhân dịp Tết Trung thu, Nam dự định làm một chiếc lồng đèn hình chóp tứ giác đều có độ dài cạnh đáy và đường cao của mặt bên tương ứng với cạnh đáy lần lượt là 30 cm và 40 cm. Em hãy giúp Nam tính xem phải cần bao nhiêu mét vuông giấy vừa đủ để dán tất cả các mặt của chiếc lồng đèn. Biết rằng nếp gấp không đáng kể.

Lời giải:

Diện tích giấy dán bốn mặt bên (diện tích xung quanh) của chiếc lồng đèn hình chóp tứ giác đều là:

$S_{xq}=4.\frac{1}{2}\mathrm{.40.30}=2400$ (cm2).

Diện tích giấy dán mặt đáy của chiếc lồng đèn hình chóp tứ giác đều là:

Sđáy = 302 = 600 (cm2).

Diện tích giấy dán tất cả các mặt (diện tích toàn phần) của chiếc lồng đèn là:

Stp = S­xq + Sđáy = 2 400 + 600 = 3 000 (cm2).

Bài 3 trang 53 Toán 8 Tập 1: a) Tính diện tích xung quanh của hình chóp tam giác đều có độ dài cạnh đáy là 10 cm, chiều cao của mặt bên xuất phát từ đỉnh của hình chóp tam giác đều là 12 cm.

b) Tính diện tích toàn phần và thể tích của hình chóp tứ giác đều có độ dài cạnh đáy là 72 dm, chiều cao là 68,1 dm, chiều cao của mặt bên xuất phát từ đỉnh của hình chóp tứ giác đều là 77 dm.

Lời giải:

a)

Diện tích xung quanh của hình chóp tam giác đều trên là:

$S_{xq}=3.\frac{1}{2}\mathrm{.12.10}=180$ (cm2).

b)

Diện tích đáy của hình chóp tứ giác đều trên là:

Sđáy = 722 = 5 184 (dm2).

Diện tích xung quanh của hình chóp tứ giác đều trên là:

$S_{xq}=4.\frac{1}{2}\mathrm{.77.72}=11088$ (dm2).

Diện tích toàn phần của hình chóp tứ giác đều trên là:

Stp = Sxq + Sđáy = 11 088 + 5 184 = 16 272 (dm2).

Thể tích của hình chóp tứ giác đều trên là:

$V=\frac{1}{3}.S_{đáy}.h=\frac{1}{3}.5184.68,1=117676,8$ (dm3).

Bài 4 trang 53 Toán 8 Tập 1: Bảo tàng Louvre (Pháp) có một kim tự tháp hình chóp tứ giác đều bằng kính (gọi là kim tự tháp Louvre) có chiều cao 21,3 m và cạnh đáy 34 m. Tính thể tích của kim tự tháp này.

Lời giải:

Thể tích của kim tự tháp Louvre là:

$V=\frac{1}{3}.S_{đáy}.h=\frac{1}{3}{.34}^2.21,3=8207,6$ (m3).

Video bài giảng Toán 8 Diện tích xung quanh và thể tích của hình chóp tam giác đều, hình chóp tứ giác đều - Chân trời sáng tạo