Toán 6_Số học_CHỦ ĐỀ 5: LUỸ THỪA VỚI SỐ MŨ TỰ NHIÊN

 

A/ Kiến thức cơ bản:

1. Lũy thừa bậc n của số a là tích của n
thừa số bằng nhau, mỗi thừa số bằng a

 
2. Nhân hai lũy thừa cùng cơ số a^m.aⁿ=a^m-n.

3. Chia hai luỹ thừa cùng cơ số a^m:aⁿ=a^m-n
( a ≠ 0, m ≥ n)

Quy ước a⁰ = 1 ( a ≠ 0)

4. Luỹ thừa của luỹ thừa (a^m)ⁿ
= a^m-n

5. Luỹ thừa một tích (a.b)^m = a^m .b^m

6. Một số luỹ thừa của 10:

    - Một nghìn: 1 000 = 10³

    - Một vạn: 10 000 = 10⁴

    - Một triệu: 1 000 000 = 10⁶

    - Một tỉ: 1 000 000 000 = 10⁹

Tổng quát: nếu n là số tự
nhiên khác 0 thì: 10ⁿ = 1000…00 (có n chữ số 0)

7. Thứ tự thực hiện phép tính:

Trong một biểu thức có chứa nhiều dấu
phép toán ta làm như sau:

-
Nếu biểu thức không có dấu ngoặc chỉ có các phép cộng, trừ hoặc chỉ có các phép
nhân chia ta thực hiện phép tính theo thứ tự từ trái sang phải.

-
Nếu biểu thức không có dấu ngoặc, có các phép cộng, trừ ,nhân ,chia, nâng lên
lũy thừa, ta thực hiện nâng lên lũy thừa trước rồi thực hiện nhân chia,cuối
cùng đến cộng trừ.

-
Nếu biểu thức có dấu ngoặc ( ), [ ], { } ta thực hiện các phép tính trong ngoặc
tròn trước, rồi đến các phép tính trong ngoặc vuông, cuối cùng đến các phép
tính trong ngoặc nhọn.

B/ CÁC DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN.

DẠNG 1: THỰC HIỆN TÍNH, VIẾT DƯỚI DẠNG LŨY THỪA.

Bài 1: viết các tích sau
dưới dạng 1 lũy thừa

a)  
5.5.5.5.5.5

 a) 5.5.5.5.5.5 = 5⁶

b)  
2.2.2.2.3.3.3.3

b) 2.2.2.2.3.3.3.3= 2⁴. . 3⁴

c)  
100.10.2.5

c) 100.10.2.5 =10 .10.10.10 =10⁴

Bài 2: Tính giá trị của các biểu thức sau:

a)  
3⁴: 3²

a) 3⁴: 3² = 3² = 9

b)  
2⁴: 2²    

b) 2⁴.. 2² = 16 .4 = 54

c) (2⁴)²

c) (2⁴.)² = 2⁸ = 256

Bài 3: Viết các tích sau
đây dưới dạng một lũy thừa của một số:

a)
A = 8².32⁴

a) A = 8².32⁴ = 2⁶.2²⁰ = 2²⁶. hoặc A = 4¹³

b)
B = 27³.9⁴.243

b) B = 27³.9⁴.243 = 3²²

Bài 4: Tìm các số mũ n
sao cho lũy thừa 3ⁿ thỏa mãn điều kiện:

25 < 3ⁿ < 250

Ta có: 3² = 9, 3³ = 27 > 25, 3⁴ = 41, 3⁵ = 243 < 250

nhưng 3⁶ = 243. 3 = 729 > 250

Vậy với số mũ n = 3,4,5 ta có 25 < 3ⁿ < 250

Bài 5: Viết các số sau
đây dưới dạng lũy thừa của một số.

          a) A = 25³.125         b) B = 64³.256²

DẠNG 2: SO SÁNH CÁC LŨY THỪA.

Để so sánh hai lũy thừa ta thường biến đổi
về hai lũy thừa có cùng cơ số hoặc có cùng số mũ (có thể sử dụng các lũy thừa
trung gian để so sánh)

Với a , b , m , n∈ N , ta có:    a > b ó aⁿ > bⁿ ∀ n∈ N*

                                                m > n ó a^m > aⁿ (a > 1)

                                      a = 0 hoặc a = 1 thì a^m = aⁿ ( m.n ≠ 0)

Với A , B là các biểu thức ta có :

                                       Aⁿ
> Bⁿ ó A > B > 0

                                       A^m
> Aⁿ ó m > n và A > 1

                                       m
< n và 0 < A < 1

Bài 1 : So sánh :

a)
333¹⁷ và 333²³

 a) Vì 1 < 17 < 23 nên 333¹⁷ < 333²³

b)
2007¹⁰ và 2008¹⁰

b) Vì 2007 < 2008 nên 2007¹⁰ < 2008¹⁰

c)
(2008-2007)²⁰⁰⁹ và (1998 - 1997)¹⁹⁹⁹

c) Ta có :   (2008-2007)²⁰⁰⁹ = 1²⁰⁰⁹ = 1

                   1998 - 1997)¹⁹⁹⁹ = 1¹⁹⁹⁹ = 1

                    (2008-2007)²⁰⁰⁹ = (1998 - 1997)¹⁹⁹⁹

Bài 2: So sánh

a,
2³⁰⁰ và 3²⁰⁰

a,      Ta có : 2³⁰⁰ = (2³)¹⁰⁰ = 8¹⁰⁰

          3²⁰⁰ = (3²)¹⁰⁰ = 9¹⁰⁰      

Vì 8¹⁰⁰ < 9¹⁰⁰ => 2³⁰⁰ < 3²⁰⁰

b,
35⁰⁰ và 7³⁰⁰

b, Tương tự câu a, ta có :    3⁵⁰⁰ = (3⁵)¹⁰⁰ = 243¹⁰⁰

7³⁰⁰ = (7³)¹⁰⁰ = 343¹⁰⁰

Vì 243¹⁰⁰ < 343¹⁰⁰ nên 3⁵⁰⁰ < 7³⁰⁰

c,
8⁵ và 3.4⁷

 c, Ta có : 8⁵ = 2¹⁵ = 2.2¹⁴ < 3.2¹⁴ = 3.4⁷ => 8⁵ < 3.4⁷

d,
202³⁰³ và 303²⁰²

 d, Ta có : 202³⁰³ = (2.101)^3.101 = (2³.101³)¹⁰¹ = (8.101.101²)¹⁰¹ = (808.101)¹⁰¹

303²⁰² = (3.101)².¹⁰¹ = (3².101²)¹⁰¹ = (9.101²)¹⁰¹

Vì 808.101² > 9.101² nên 202³⁰³ > 303²⁰²

e, 99²⁰ và 9999¹⁰

 e, Ta thấy : 99² < 99.101 = 9999 => (99²)¹⁰ < 999910 hay 99²⁰ < 9999¹⁰

f, 11¹⁹⁷⁹ và 37¹³²⁰

 f, ta có : 11¹⁹⁷⁹ < 11¹⁹⁸⁰ = (113)⁶⁶⁰ = 1331⁶⁶⁰   (1)

37¹³²⁰ = (37²)⁶⁶⁰ = 1369⁶⁶⁰

Từ (1) và (2) suy ra : 11¹⁹⁷⁹ < 37¹³²⁰                 (2)

g, 10¹⁰ và 48.50⁵

g, Ta có : 10¹⁰ = 210. 5¹⁰ = 2. 29. 5¹⁰               (*)

48. 50⁵ = (3. 2⁴). (2⁵. 5¹⁰) = 3. 2⁹. 5¹⁰                (**)

Từ (*) và (**) => 10¹⁰ < 48. 50⁵ 

h, 1990¹⁰ + 1990 ⁹ và 1991¹⁰

 h, Có : 1990¹⁰ + 1990⁹ = 1990⁹. (1990+1) = 1991. 1990⁹         

                   1991¹⁰ = 1991. 1991⁹

Vì 1990⁹ < 1991⁹ nên 1990¹⁰ + 1990 ⁹ < 1991¹⁰

Bài 3 . Chứng tỏ rằng : 5²⁷
< 2⁶³ < 5²⁸

Hãy chứng tỏ 2⁶³ > 5²⁷ và 2⁶³ < 5²⁸

Ta có :       2⁶³ = (2⁷)⁹ = 128⁹

                   5²⁷ =(5³)⁹ = 125⁹

Lại có :       2⁶³ = (2⁹)⁷ = 512⁷          => 2⁶³ > 5²⁷         (1)

                   5²⁸ = (54)⁷ = 625⁷ => 2⁶³ < 5²⁸       (2)

Từ (1) và (2) => 5²⁷ < 2⁶³ < 5² 

Bài 4 . So sánh :

a,
107⁵⁰ và 73⁷⁵

 a, Ta thấy : 107⁵⁰ < 108⁵⁰ = (4. 27)⁵⁰ = 2¹⁰⁰. 31⁵⁰                 (1)

                        73⁷⁵ > 72⁷⁵ = (8. 9)⁷⁵ = 2²²⁵. 3¹⁵⁰        (2)

Từ (1) và (2) => 107⁵⁰ < 2¹⁰⁰. 3¹⁵⁰ < 2²²⁵. 3¹⁵⁰ < 73⁷⁵

b,
2⁹¹ và 5³⁵

 b, 2⁹¹ > 2⁹⁰ = (2⁵)¹⁸ = 32¹⁸ và 5³⁵ < 5³⁶ = (5²)¹⁸ = 25¹⁸ => 2⁹¹ > 32¹⁸ > 25¹⁸ > 5³⁵

Vậy 2⁹¹ > 5³⁵

Bài 5: So sách các cặp số
sau:

a)
A = 27⁵ và B = 243³

a) Ta có A = 27⁵ = (3³)⁵ = 3¹⁵ và B = (3⁵)³ = 3¹⁵        Vậy A = B

b)
A = 2 ³⁰⁰ và B = 3²⁰⁰

 b) A = 2 ³⁰⁰ = 33.¹⁰⁰ = 8¹⁰⁰ và B = 3²⁰⁰ = 32.¹⁰⁰ = 9¹⁰⁰

Vì 8 < 9 nên 8¹⁰⁰ < 9¹⁰⁰ và A < B.

Ghi chú: Trong hai lũy thừa
có cùng cơ số, luỹ thừa nào số mũ lớn hơn thì lớn hơn.

a² gọi
là bình phương của a hay a bình phương

a³
gọi là lập phương của a hay a lập phương

Bài 6: Tính và so sánh

a)
A = (3 + 5)² và B = 3² + 5²

a) A > B

b)
C = (3 + 5)³ và D = 3³ + 5³

b) C > D

Lưu ý HS tránh sai lầm khi viết (a + b)²
= a² + b² hoặc (a + b)³ = a³ + b³

Bài 7: Tìm các giá trị của
số mũ n sao cho.

a)
5 < 2ⁿ < 100            

b)
50 < 7ⁿ < 2500

Bài 8: So sánh các số.        

    a)
10³⁰ và 2¹⁰⁰

    b)
3⁴⁵⁰ và 5³⁰⁰         

    c)
333⁴⁴⁴ và 444³³³

Hướng dẫn:

          Biến
đổi đưa về cùng số mũ hoặc cùng cơ số rồi so sánh

Bài 9: Tìm các số tự
nhiên n sao cho :

a,
3 < 3ⁿ ≤ 234

b,
8.16 ≥ 2ⁿ ≥ 4

Hướng dẫn: đưa các số về
các lũy thừa có cùng cơ số .

Bài 10: Tìm số tự nhiên n
biết rằng :

          4¹⁵
. 9¹⁵ < 2ⁿ . 3ⁿ < ¹⁸¹⁶ . 2¹⁶

Gợi ý: quan sát , nhận
xét về số mũ của các lũy thừa trong một tích để đưa về cùng cơ số

Bài 11: So sánh các số
sau?

a)
27¹¹ và 81⁸.

b)
625⁵ và 125⁷

c)
5³⁶ và 11²⁴

d)
3²ⁿ và 2³ⁿ (n ∈
N* )

Hướng dẫn:     

a)
Đưa về cùng cơ số 3.

b)
Đưa về cùng cơ số 5.

c)
Đưa về cùng số mũ 12.

d)
Đưa về cùng số mũ n

Bài 12: So sánh các số
sau:

a)
5²³ và 6.5²²

b)
7.2¹³ và 2¹⁶

c)
21¹⁵ và 27⁵.49⁸

Hướng dẫn:     

a)
Đưa hai số về dạng một tích trong đó có thừa số giống nhau 5²².

b)
Đưa hai số về dạng một tích trong đó có thừa số giống nhau là 2¹³.

c)
Đưa hai số về dạng một tích 2 luỹ thừa cơ số là 7 và 3.

Bài 13: So sánh các số
sau:

a)
199²⁰ và 2003¹⁵.

b)
3³⁹ và 11²¹.

Hướng dẫn :    

a)
199²⁰ < 200²⁰ = (2³ .5²)²⁰
= 2⁶⁰. 5⁴⁰.

2003¹⁵
> 2000¹⁵ = (2.10³)¹⁵ = (2⁴. 5³)¹⁵
= 2⁶⁰.5⁴⁵

b)
3³⁹ <3⁴⁰ = (32)²⁰ = 9²⁰<11²¹.

Bài 14: So sánh 2 hiệu, hiệu
nào lớn hơn: 

    72 ⁴⁵-72⁴⁴ và 72 ⁴⁴-72⁴³.

 Hướng dẫn:

72⁴⁵ - 72⁴⁴ = 72⁴⁵(72 - 1) = 72⁴⁵.71.

72⁴⁴ - 72⁴⁴ = 72⁴⁴(72 - 1) = 72⁴⁴.71.

Bài 15: So sánh các số
sau:

a)
9⁵ và 27³

a) Ta có:    9⁵ = (3²)⁵ = 3¹⁰

                   27³ = (3³ )³ = 3⁹

          Vì 3¹⁰ > 3⁹ nên 9⁵ > 2⁷³ 

b)
3²⁰⁰ và 2³⁰⁰

 b) Ta có: 3²⁰⁰ = (3²)¹⁰⁰ = 9¹⁰⁰

          2³⁰⁰ = (2³) ¹⁰⁰ = 8¹⁰⁰

          Vì 9¹⁰⁰ > 8¹⁰⁰ ; nên 3²⁰⁰ > 2³⁰⁰

c)
3⁵⁰⁰ và 7³⁰⁰

 c) 3⁵⁰⁰ và 7³⁰⁰

3⁵⁰⁰ = 3^5.100 = (3⁵)¹⁰⁰ = 243¹⁰⁰

7³⁰⁰ = 7^3.100 . (7³ )¹⁰⁰ = (343)¹⁰⁰

Vì 243¹⁰⁰ < 343¹⁰⁰ => 3⁵⁰⁰ < 7³⁰⁰

d)
8⁵ và 3 . 4⁷ . 8⁵

d) có 3 . 4⁷ . 8⁵ = (2³)+5 = 2¹⁵ <3.2¹⁴ = 3.4⁷

          => 8⁵ < 3 . 4⁷

e)
202³⁰³ và 303²⁰²

e) 202³⁰³ và 303²⁰²

          202³⁰³ =(202³)²⁰¹ ; 303²⁰² = (303²)¹⁰¹

Ta so sánh 202³ và 303²

202³ = 2³. 101 . 101³ và 303² => 303² < 202³

303² = 3³. 101² = 9.101²

Vậy 303²⁰² < 2002³⁰³

DẠNG 3: THỨ TỰ THỰC HIỆN CÁC PHÉP TÍNH - ƯỚC LƯỢNG CÁC PHÉP TÍNH

Bài 1: Tính giá trị của
biểu thức: A = 2002.20012001 – 2001.20022002

 Hướng dẫn

A = 2002.(20010000 + 2001) – 2001.(20020000 + 2002)

= 2002.(2001.10⁴ + 2001) – 2001.(2002.10⁴ + 2001)

= 2002.2001.10⁴ + 2002.2001 – 2001.2002.10⁴ – 2001.2002 = 0

Bài 2: Thực hiện phép
tính

a)
A = (456.11 + 912).37 : 13: 74

A = 228

b)
B = [(315 + 372).3 + (372 + 315).7] : (26.13 + 74.14)

B = 5

Bài 3: Tính giá trị của
biểu thức

a)
12:{390: [500 – (125 + 35.7)]}

a) 4

b)
12000 –(1500.2 + 1800.3 + 1800.2:3)

b) 2400

DẠNG 4: TÌM SỐ CHƯA BIẾT TRONG LŨY THỪA.

Khi giải bài toán tìm x có luỹ thừa phải
biến đổi về các luỹ thừa cùng cơ số hoặc các luỹ thừa cùng số mũ và các trường
hợp đặc biệt

Bài 1: Tìm x, biết:

a)
2^x = 16 

ĐS: x = 4

                              

b)
x⁵⁰ = x =>x= 0;1 

ĐS: x ∈{0;1}

                 

Bài 1: Tìm x biết rằng:

a,
x³ = -27

b,
(2x – 1)³ = 8  

c,
(x – 2)² = 16

d,
(2x – 3)² = 9    

Bài 2. Tìm số hữu tỉ x biết
: x² = x⁵    

  x²= x⁵=> x⁵ – x² = 0 => x².(x³ - 1) = 0

     

Bài 3. Tìm số hữu tỉ y biết
: (3y - 1)¹⁰ = (3y - 1)²⁰      (*)

Hướng dẫn : Đặt 3y – 1 = x . Khi đó (*) trở thành : x¹⁰ = x²⁰

Giải tương tự bài 2 ở trên ta được :

+) Với x = 0 ta có : 3y -1 = 0 => 3y = 1 => y = 1/3

+) Với x = 1 ta có : 3y -1 = 1 => 3y = 2 => y = 2/3

+) Với x = -1 ta có : 3y – 1 = -1 => 3y = 0 => y = 0

 Vậy y =1/3; 2/3; 0

Bài 4: Tìm x biết : (x -
5)² = (1 – 3x)²

Bài 5: Tìm n ∈ N biết :

          a, 2008ⁿ = 1                  c, 32^-n. 16ⁿ = 1024

          b, 5ⁿ + 5ⁿ⁺² = 650          d, 3^-1.3ⁿ + 5.3^n-1 = 162

 

Bài 6: Tìm hai số tự
nhiên m , n biết : 2^m + 2ⁿ = 2^m+n

Hướng dẫn: 2^m+n – 2^m – 2ⁿ = 0 => 2^m.2ⁿ -2^m -2ⁿ + 1 = 1

2^m(2ⁿ - 1) – (2ⁿ - 1) = 1 => (2^m - 1)( 2ⁿ - 1) = 1 (*)     

Vì 2^m ≥ 1 , 2ⁿ ≥ 1          ∀ m,n ∈ N

 

Vậy : m = n = 1

Bài 7: Tìm x ∈ N biết

          a) 1³ + 2³ + 3³ + ...+ 10³
= ( x +1)²

a) 1³ + 2³ + 3³ + ...+ 10³ = (x +1)²

(1+ 2 + 3+...+ 10)² = ( x +1)²

=> 55² = ( x +1) ² => x = 54

          

b) 1 + 3 + 5 + ...+ 99 = (x -2)²

b) 1 + 3 + 5 +...+ 99 = ( x -2)²

 
=> 50² = ( x -2 )²

=> x = 52

(Ta có: 1 + 3 + 5+ ...+ ( 2ⁿ⁺¹) = n²)

Bài 8: Tìm 1 cặp  x ; y ∈ N
thoả mãn 7³ = x² - y²

Hướng dẫn:

Ta thấy: 73 = x2 - y2

(13 + 23 + 33 +...+73) - (13+ 23+ 33+...+ 63) = x2 - y2

(1+ 2 + 3 + ...+ 7)2 - (1 + 2 + 3 +...+ 6)2 = x2 - y2

282 - 212 = x2 - y2

Vậy 1 cặp x; y thoả mãn là: x = 28; y = 21

DẠNG 5: MỘT SỐ BÀI TẬP BỔ SUNG.

Vận dụng linh hoạt các công thức, phép
tính về lũy thừa để tính cho hợp lí và nhanh. Biết kết hợp hài hòa một số
phương pháp trong tính toán khi biến đổi.

 

Hướng dẫn:

 

Bài 2: Chứng tỏ rằng:

Để chứng minh A (một biểu thức lũy thừa) chia hết cho số k ta cần biến đổi biểu thức A về dạng A = P . k (với P là một số nào đó)

 
Ta không thể tính giá trị cụ thể của từng lũy thừa rồi thực hiện phép chia. Giáo viên có thể gợi ý đặt thừa số chung.

         B = 5²⁰⁰⁸ + 5²⁰⁰⁷ + 5²⁰⁰⁶

         B = 5²⁰⁰⁶ .( 5² + 5¹ + 1)

     

Để chứng minh A (một biểu thức lũy thừa) chia hết cho số k ta cần biến đổi biểu thức A về dạng A = P . k (với P là một số nào đó)

 Cách làm tương tự như câu b, nhưng trước tiên phải đưa về hai lũy thừa có cùng cơ số:

            M = 8⁸ + 2²⁰ = (23)⁸ + 2²⁰ = 2²⁴ + 2²⁰

         

 Với câu này, học sinh cũng phải nhận ra cần đặt thừa số chung, nhưng đặt thừa số chung nào lại là một vấn đề. Nếu đặt 313⁵ làm thừa số chung thì buộc phải tính kết quả trong ngoặc, và như vậy thì rất lâu và dễ nhầm. Khi đó, giáo viên có thể hướng dẫn. 

     H = 313⁵ . 299 – 313⁶ . 36

    H = 313⁵ . 299 – 313⁶ - 35. 313⁶

    H = 313⁵ . (299 – 313) - 35. 313⁶

    H = 313⁵ . 14 - 35. 313⁶

Bài 3 . Cho A = 2+ 2²
+ 2³ +……+ 2⁶⁰ .

Hướng dẫn:

A = 2+ 22 + 23 +……+ 260

= (2+22)+(23+24)+(25+26)+…….+(257+258)+(259+260)

= 2.(1+2)+23.(1+2)+25.(1+2)+…….+257.(1+2)+259.(1+2)

= (1+2).(2+23+25+…..+257+259)

= 3.( 2+23+25+…..+257+259)




Tương tự ,ta có :
A = (2+ 22 + 23)+(24+25+26)+……+(258+259+ 260 )

= 2.(1+2+22)+24.(1+2+22)+…….+258.(1+2+22)

= (1+2+22).(2+24+27+…….+258)




A = (2+ 23)+(22+24)+……+(257+259)+(258+ 260 )
A = 2(1+22)+22(1+22)+……+257(1+22)+258(1+22)

= (1+22).(2+22+25+26+…….+257+258)

= 5. (2+22+25+26+…….+257+258

Bài 4: Chứng tỏ rằng :

a, Ta thấy : 1³ = 1 + 3 + 3² nên ta sẽ nhóm 3 số hạng liên tiếp của tổng thành một nhóm như sau :

D = (3 + 3² + 3³) + (3⁴ +3⁵ + 3⁶) +…….+ (3²⁰⁰⁵ + 3²⁰⁰⁶.+ 3²⁰⁰⁷)

=3.(1 + 3 + 3²) +3⁴.(1 + 3 + 3²) +…….+ 3²⁰⁰⁵.(1 + 3 + 3²)

= 3. 13 + 3⁴. 13 + ……..+ 3²⁰⁰⁵. 13

= (3 + 3⁴ + ……+ 3²⁰⁰⁵). 13

b, Tương tự câu a, có : 400 = 1 + 7 + 7² + 7³ nên :

E = (7¹ + 7² + 7³ + 7⁴) + 7⁴. (7¹ + 7² + 7³ + 7⁴) + …+ 7^4n-4. (7¹ + 7² + 7³ + 7⁴)

= (7¹ + 7² + 7³ + 7⁴). (1+7⁴ + 7⁸ + …+7^4n-4)

= 7.(1 + 7¹ + 7² + 7³ ). (1+7⁴ + 7⁸ + …+7^4n-4)

= 7.(1 + 7 + 49 + 343 ). (1+7⁴ + 7⁸ + …+7^4n-4)