Số học lớp 6 (5)

1111

 Câu 41:

Gọi số bạn được chia là a ta có (a thuộc tập n )

126 = 2.3.7; 198 = 2.3².11; 144 = 2⁴.3²

UCLN là 2. 3 = 6 => có 6 bạn

Vậy mỗi bạn có

126: 6 = 21 bóng đỏ

198: 6 = 33 bóng xanh

144: 6 = 24 bóng vàng

Bài 42. Chứng minh rằng hai số tự nhiên liên tiếp nguyên tố cùng nhau. (XEM ƯC, CHIA HẾT)

* Hướng dẫn giải

Gọi số thứ nhất là n, số thứ hai là n+1, ƯC (n, n+1)=a

Ta có: n chia hết cho a (1)

 n+1 chia hết cho a (2)

Từ (1) và (2) ta được:

n+1-n chia hết cho a

=> 1 chia hết cho a

=> a=1

=> ƯC (n, n+1) = 1

=> n và n+1 là hai số nguyên tố cùng nhau.

Vậy 2 số tự nhiên liên tiếp là hai số nguyên tố cùng nhau

Câu 42:

Gọi số thứ nhất là n, số thứ hai là n + 1, ƯC (n, n + 1) = a

Ta có: n chia hết cho a (1)

n+1 chia hết cho a (2)

Từ (1) và (2) ta được:

n + 1 - n chia hết cho a

=> 1 chia hết cho a

=> a = 1

=> ƯC (n, n+1) = 1

=> n và n+1 là hai số nguyên tố cùng nhau.

Vậy 2 số tự nhiên liên tiếp là hai số nguyên tố cùng nhau

Bài 43. Tìm hai số tự nhiên biết rằng tổng của chúng là 168, ƯCLN của chúng bằng 12.

* Hướng dẫn giải

Đặt 2 số tự nhiên đó là: a = 12.m và b = 12.n

với UCLN (m; n) = 1

ta có: a + b = 168 => 12.m + 12.n = 168

=> (m + n).12 = 168 => m + n = 14

Câu 43:

Đặt 2 số tự nhiên đó là: a = 12.m và b = 12.n

với UCLN (m; n) = 1

ta có: a + b = 168 => 12.m + 12.n = 168

=> (m + n).12 = 168 => m + n = 14

Bài 44. Tìm hai số tự nhiên biết hiệu của chúng là 168, ƯCLN của chúng bằng 56, các số đó trong khoảng từ 600 đến 800.

* Hướng dẫn giải

Gọi 2 số tự nhiên là a và b

Có a – b = 168

Hay ta có a = 56m, b = 56n (m, n nguyên tố cùng nhau)

Có 56m – 56n = 168 => 56.(m - n) = 168 hay m – n = 3

Lại có 600 < 56.m và 56.n < 800 => 10 < m, n < 15

Vậy m = 14, n = 11

Hai số cần tìm là 784 và 616

Câu 44:

Gọi 2 số tự nhiên là a và b

Có a – b = 168

Hay ta có a = 56m, b = 56n (m, n nguyên tố cùng nhau)

Có 56m – 56n = 168 => 56.(m - n) = 168 hay m – n = 3

Lại có 600 < 56.m và 56.n < 800 => 10 < m, n < 15

Vậy m = 14, n = 11

Hai số cần tìm là 784 và 616

Bài 45. Chứng minh rằng: 3n + 1 và 4n + 1 (n thuộc N) là 2 nguyên tố cùng nhau.

* Hướng dẫn giải

Ta có:3n+1 chia hết cho d => 4(3n+1) chia hết cho d => 12n+4 d

4n+1 chia hết cho d => 3(3n+1) chia hết cho d => 12n+3 d

(12n+4 )- (12n+3) chia hết cho d

1 chia hết cho d

vậy 3n+1 và 4n+1 là hai số nguyên tố cùng nhau

Câu 45:

Ta có:3n+ 1 chia hết cho d => 4(3n+ 1) chia hết cho d => 12n+4 d

4n+ 1 chia hết cho d => 3(3n+ 1) chia hết cho d => 12n+3 d

(12n+ 4 )- (12n+ 3) chia hết cho d

1 chia hết cho d

vậy 3n+ 1 và 4n+ 1 là hai số nguyên tố cùng nhau

Bài 46. Biết rằng 4n + 3 và 5n + 2 là hai số không nguyên tố cùng nhau. Tìm ƯCLN (4n + 3, 5n + 2).

* Hướng dẫn giải

Gọi ƯCLN(4n+3,5n+2) = d(d ∈ ℕ )

⇒4n+3 ⋮d; 5n+2 ⋮d

⇒ 5.(4n+3)⋮d; 4.(5n+2)⋮d

⇒20n+15 ⋮d; 20n+8 ⋮d

⇒(20n+15-20n-8)⋮d

⇒7 ⋮d

Do đó d ∈ Ư(7)={1;7}

Mà đầu bài cho là (4n+3,5n+2) ≠ 1

⇒d=7

Vậy ƯCLN(4n+3,5n+2) = 7

Câu 46:

Gọi ƯCLN(4n+3, 5n+2) = d(d ∈ ℕ )

⇒ 4n+ 3 ⋮d; 5n+ 2 ⋮d

⇒ 5.(4n+ 3)⋮d; 4.(5n+ 2)⋮d

⇒ 20n+15 ⋮d; 20n+ 8 ⋮d

⇒ (20n+ 15- 20n- 8)⋮d

⇒ 7 ⋮d

Do đó d ∈ Ư(7)={1;7}

Mà đầu bài cho là (4n+3, 5n+2) ≠ 1

⇒d = 7

Vậy ƯCLN(4n+3, 5n+2) = 7

Bài 47. Một trường có khoảng 1200 đến 1400 học sinh. Lúc xếp hàng 12, 16, hàng 18 đều thừa 2 học sinh. Tính số học sinh trường đó (XEM BC, BCNN)

* Hướng dẫn giải

Xếp thành hàng 12, 16, 18 hàng đều thừa 2 hs

=> x-2 thuộc BC (12; 16; 18) và 1200 < x-2 < 1400

BCNN (12; 16; 18)

12= 22.3; 16= 24; 18= 2.32

BCNN (12; 16; 18) = 24.32 = 144

BC (12; 16; 18) = B(144) = {0; 144; 288; 432;......; 1152; 1296; 1440;….}

mà 1200<x-2<1400

nên x-2=1296

x= 1296 + 2 = 1298

Câu 47:

Xếp thành hàng 12, 16, 18 hàng đều thừa 2 hs

=> x-2 thuộc BC (12; 16; 18) và 1200 < x-2 < 1400

BCNN (12; 16; 18)

12= 2².3; 16= 2⁴; 18= 2.3²

BCNN (12; 16; 18) = 2⁴.3² = 144

BC (12; 16; 18) = B(144) = {0; 144; 288; 432;......; 1152; 1296; 1440;….}

mà 1200<x-2<1400

nên x-2=1296

x= 1296 + 2 = 1298

Bài 48. Tìm số cam trong một sọt biết số cam đó chia cho 8 dư 7, chia cho 9 dư 8, chia cho 12 dư 11 và trong khoảng từ 200 đến 250 quả.

* Hướng dẫn giải

Gọi số cam đó là a.

a chia 8 dư 7; chia 9 dư 8; chia 12 dư 11

=> a + 1 chia hết cho 8 ; 9 ; 12, hay a + 1 thuộc BC (8; 9; 12)

Tìm BCNN tính ra được a + 1 = 216 => a = 215

Câu 48:

Gọi số cam đó là a.

a chia 8 dư 7; chia 9 dư 8; chia 12 dư 11

=> a + 1 chia hết cho 8 ; 9 ; 12, hay a + 1 thuộc BC (8; 9; 12)

Tìm BCNN tính ra được a + 1 = 216 => a = 215

Bài 49. Vào thế kỷ X, Ngô Quyền đánh tan quân Nam Hán trên sông Bạch Đằng. Đó là năm nào? Biết rằng năm ấy chia hết cho 2, chia cho 5 dư 3, chia cho 47 dư 45.

* Hướng dẫn giải

Gọi năm cần tìm là a.

Vì a thuộc thế kỉ X nên 901<=a<=1000

Vì a chia 5 dư 3 => a+2 chia hết cho 5; a chia 47 dư 45 => a+2 chia hết cho 47

mà 5 ,47 nguyên tố

=> a+2 chia hết cho 235

mà 903<=a+2<=1002

=> a+2=940

=> a=938 (chia hết cho 2)

Vậy năm đó là năm 938

Câu 49:

Gọi năm cần tìm là a.

Vì a thuộc thế kỉ X nên 901<=a<=1000

Vì a chia 5 dư 3 => a+2 chia hết cho 5; a chia 47 dư 45 => a+2 chia hết cho 47

mà 5 ,47 nguyên tố

=> a+2 chia hết cho 235

mà 903<=a+2<=1002

=> a+2=940

=> a=938 (chia hết cho 2)

Vậy năm đó là năm 938

Bài 50. Tìm hai số tự nhiên biết tích của chúng là 1440, BCNN của chúng là 240.

* Hướng dẫn giải

Ta có: a.b = BCNN (a, b).ƯCLN (a, b)

=> a . b = 1440 x 240 = 345600

Vì ƯCLN (a, b) = 240 nên a = 240. m, b = 240. n và ( m, n ) = 1

Mà a.b = 345600 nên 240.m.240. n = 345600 => m . n = 6 và m, n nguyên tố cùng nhau.

Học sinh tiếp tục giải để tìm m, n sau đó tìm a, b

Câu 50:

Ta có: a.b = BCNN (a, b).ƯCLN (a, b)

=> a . b = 1440 x 240 = 345600

Vì ƯCLN (a, b) = 240 nên a = 240. m, b = 240. n và ( m, n ) = 1

Mà a.b = 345600 nên 240.m.240. n = 345600 => m . n = 6 và m, n nguyên tố cùng nhau.

Học sinh tiếp tục giải để tìm m, n sau đó tìm a, b