C4 Bài tập cuối chương 4

 Câu hỏi trắc nghiệm

Bài 1 trang 72 Toán 9 Tập 1: Cho tam giác ABC vuông tại A có AC = 10 cm, $\hat{C}=60°.$Độ dài hai cạnh còn lại là

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Xét tam giác ABC vuông tại A, $\hat{C}=60°$ , ta có:

• $AB=AC.\tan C=10.\tan 60°=10\sqrt{3}\text{(cm)}$

• AC = BC . cos C suy ra $BC=\frac{AC}{\cos C}=\frac{10}{\cos 60°}=20\text{(cm)}$ .

Vậy $AB=10\sqrt{3}\text{cm};BC=20\text{cm}$ .

Bài 2 trang 72 Toán 9 Tập 1: Cho tam giác ABC vuông tại A có BC = 8 cm, AC = 6 cm. Tỉ số lượng giác tan C (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm) là

A. 0,87.

B. 0,86.

C. 0,88.

D. 0,89.

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác ABC vuông tại A, ta có:

$AB=\sqrt{B{C}^2-A{C}^2}=\sqrt{8^2-6^2}=2\sqrt{7}\text{(cm)}$.

Ta có $\tan C=\frac{AB}{AC}=\frac{2\sqrt{7}}{6}=\frac{\sqrt{7}}{3}\approx 0,88$

Bài 3 trang 72 Toán 9 Tập 1: Giá trị của biểu thức B = tan 20° . tan 30° . tan 40° . tan 50° . tan 60° . tan 70° là

A. 2.

B. 1.

C. 3.

D. 4.

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

B = tan 20° . tan 30° . tan 40° . tan 50° . tan 60° . tan 70°

= tan 20° . tan 30° . tan 40° . cot (90° − 50°) . cot (90° − 60°) . cot (90° − 70°)

= tan 20° . tan 30° . tan 40° . cot 40° . cot 30° . cot 20°

= (tan 20° . cot 20°) . (tan 30° . cot 30°) . (tan 40° . cot 40°)

= 1 . 1 . 1 = 1.

Vậy giá trị biểu thức B là 1.

Bài 4 trang 72 Toán 9 Tập 1: Một người quan sát tại ngọn hải đăng ở vị trí cao 149 m so với mặt nước biển thì thấy một du thuyền ở xa với góc nghiêng xuống là 27° (Hình 1).

Hỏi thuyền cách xa chân hải đăng bao nhiêu mét (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)?

A. 292 m.

B. 288 m.

C. 312 m.

D. 151 m.

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Ta có $\widehat{ACB}=90°-27°=63°.$

Xét tam giác ABC vuông tại B, $\widehat{ACB}=63°$  có:

$AB=BC.\tan \widehat{ACB}=149.\tan 63°\approx 292\text{(m)}$.

Vậy thuyền cách xa chân hải đăng khoảng 292 mét.

Bài 5 trang 72 Toán 9 Tập 1: Cho Hình 2. Độ dài cạnh BC là

A. 4 cm.

B. $8\sqrt{3}\text{cm}$.

C. $\frac{8\sqrt{3}}{3}\text{cm}$.

D. 16 cm.

Lời giải:

Đáp án đúng là: D

Xét tam giác ABC vuông tại A, $\hat{C}=30°$ nên AB = BC . sin C.

Suy ra $BC=\frac{AB}{\sin C}=\frac{8}{\sin 30°}=16\text{(cm)}.$

Vậy BC = 16 cm.

Bài tập tự luận

Bài 9 trang 73 Toán 9 Tập 1: Tìm số đo góc α biết rằng:

a) sin α = 0,25;

b) cos α = 0,75;

c) tan α = 1;

d) cot α = 2.

Lời giải:

Ta tìm số đo góc α khi biết sin α, cos α, tan α, cot α bằng máy tính cầm tay như sau:

Vậy:

a) α ≈ 14,5° hoặc α ≈ 14°29’.

b) α ≈ 41,4° hoặc α ≈ 41°25’.

c) α = 45°.

d) α ≈ 26,6° hoặc α ≈ 26°34’.

Bài 10 trang 73 Toán 9 Tập 1: Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 18 cm, AC = 24 cm. Tính các tỉ số lượng giác của góc B, từ đó suy ra các tỉ số lượng giác của góc C.

Lời giải:

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác ABC vuông tại A, ta có:

$BC=\sqrt{A{B}^2+A{C}^2}=\sqrt{{18}^2+{24}^2}=30\text{(cm)}$.

Các tỉ số lượng giác của góc B là:

• sin B = $\frac{AC}{BC}=\frac{24}{30}=\frac{4}{5}$ = 0,8;

• cos B = $\frac{AB}{BC}=\frac{18}{30}=\frac{3}{5}$ = 0,6;

• tan B = $\frac{AC}{AB}=\frac{24}{18}=\frac{4}{3}$ ≈ 1,3;

• cot B = $\frac{AB}{AC}=\frac{18}{24}=\frac{3}{4}$ = 0,75.

Do ∆ABC vuông tại A nên $\hat{B}+\hat{C}=90°$ hay góc B và góc C là hai góc phụ nhau, do đó:

sin C = cos B = 0,6;     cos C = sin B = 0,8;

tan C = cot B = 0,75;   cot C = tan B ≈ 1,3.

Vậy sin B = cos C = 0,8; cos B = sin C = 0,6; tan B = cot C ≈ 1,3; cot B = tan C = 0,75.

Bài 11 trang 73 Toán 9 Tập 1: Cho tam giác ABC vuông tại A. Chứng minh rằng $\frac{AC}{AB}=\frac{\sin B}{\sin C}.$

Lời giải:

Do ∆ABC vuông tại A, ta có: $\sin B=\frac{AC}{BC};\sin C=\frac{AB}{BC}.$

Suy ra $\frac{\sin B}{\sin C}=\frac{AC}{BC}:\frac{AB}{BC}=\frac{AC}{BC}\cdot \frac{BC}{AB}=\frac{AC}{AB}$.

Bài 12 trang 73 Toán 9 Tập 1: Cho góc nhọn α biết sin α = 0,8. Tính cos α, tan α và cot α.

Lời giải:

⦁ Từ sin α = 0,8, sử dụng máy tính cầm tay, ta bấm liên tiếp các nút:

Trên màn hình máy tính hiện kết quả như hình dưới đây:

Làm tròn kết quả đến phút, ta được α ≈ 53°8’.

⦁ Ta tính cos α, tan α và cot α như sau:

Vậy α ≈ 53°8’; cos α ≈ 0,6; tan α ≈ 1,3; cot α ≈ 0,7.

Bài 13 trang 73 Toán 9 Tập 1: Tính giá trị của biểu thức:

a) A = 4 – sin2 45° + 2cos2 60° – 3cot3 45°;

b) B = tan 45° . cos 30° . cot 30°;

c) C = sin 15° + sin 75° – cos 15° – cos 75° + sin 30°.

Lời giải:

a) A = 4 – sin2 45° + 2cos2 60° – 3cot3 45°

        = $4-{\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^2+2\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^2-3.1^3$

        = $4-\frac{1}{2}+2\cdot \frac{1}{4}-3=1$

Vậy A = 1.

b) B = tan 45° . cos 30° . cot 30°

        = $1.\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \sqrt{3}=\frac{3}{2}$.

Vậy B = 3.

c) C = sin 15° + sin 75° – cos 15° – cos 75° + sin 30°.

        = (sin 15o – cos 75o) + (sin 75o – cos 15o) + sin 30o

        = (sin 15o – sin 15o) + (cos 15o – cos 15o) + sin 30o

        $=sin{30}^o=\frac{1}{2}.$

Vậy $C=\frac{1}{2}.$

Bài 14 trang 73 Toán 9 Tập 1: Cho tam giác OPQ vuông tại O có $\hat{P}=39°$ và PQ = 10 cm. Hãy giải tam giác vuông OPQ.

Lời giải:

Xét tam giác OPQ vuông tại O, ta có:

⦁ $\hat{P}+\hat{Q}=90°$ (tổng hai góc nhọn của tam giác vuông bằng 90°)

Suy ra $\hat{Q}=90°-\hat{P}=90°-39°=51°$.

• OQ = QP . sin P = 10 . sin 39° ≈ 6,3 (cm).

• OP = QP . cos P = 10. cos 39° ≈ 7,8 (cm).

Vậy $\hat{Q}=51°$; OQ ≈ 6,3 cm; OP ≈ 7,8 cm.

Bài 15 trang 73 Toán 9 Tập 1: Hai điểm P và Q cách nhau 203 m và thẳng hàng với chân của một tòa tháp (Hình 3). Từ đỉnh của tòa tháp đó, một người nhìn thấy hai điểm P, Q với hai góc nghiêng xuống lần lượt là 38° và 44°. Tính chiều cao của tòa tháp (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị của mét).

Lời giải:

Ta có $\widehat{PMN}=90°-38°=52°$; $\widehat{QMN}=90°-44°=46°$

• Xét tam giác MPN vuông tại N, ta có:

$PN=MN.\tan \widehat{PMN}$

• Xét tam giác MQN vuông tại N, ta có:

$QN=MN.\tan \widehat{QMN}$

Mặt khác, ta có PN – QN = PQ = 203

Suy ra $MN.\tan \widehat{PMN}-MN.\tan \widehat{QMN}=203$

$MN\left(\tan \widehat{PMN}-\tan \widehat{QMN}\right)=203$

$MN=\frac{203}{\tan \widehat{PMN}-\tan \widehat{QMN}}$

$MN=\frac{203}{\tan 52°-\tan 46°}\approx 831\text{(m)}$

Vậy chiều cao của tòa tháp khoảng 831 m.

Bài 16 trang 73 Toán 9 Tập 1: Hai chiếc tàu thủy B và C cùng xuất phát từ một vị trí A, đi thẳng theo hai hướng tạo thành một góc 60° (Hình 4). Tàu B chạy với tốc độ 20 hải lí/giờ, tàu C chạy với tốc độ 15 hải lí/giờ. Hỏi sau 1,5 giờ hai tàu B và C cách nhau bao nhiêu hải lí (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)?

Lời giải:

Nối B và C. Kẻ CH ⊥ AB (H ∈ AB).

Sau 1,5 giờ tàu B chạy được quãng đường là:

AB = 20.1,5 = 30 (hải lí).

Sau 1,5 giờ tàu C chạy được quãng đường là:

AC = 15.1,5 = 22,5 (hải lí).

Xét tam giác AHC vuông tại H, ta có:

• $CH=AC.sinA=22,5.sin60°=\frac{45\sqrt{3}}{4}$  (hải lí).

• AH = AC . cos A = 22,5 . cos 60° = 11,25 (hải lí).

Do đó BH = AB – AH = 30 – 11,25 = 18,75 (hải lí).

Mặt khác, tam giác CHB vuông tại H, áp dụng định lý Pythagore ta có:

$BC=\sqrt{B{H}^2+C{H}^2}=\sqrt{{\left(18,75\right)}^2+{\left(\frac{45\sqrt{3}}{4}\right)}^2}\approx 27,04$ (hải lí).

Vậy sau 1,5 giờ tàu B cách tàu C là 27,04 hải lí.