Giải bài tập Toán lớp 8 Bài 4: Hai hình đồng dạng

Giải Toán 8 trang 77 Tập 2

Khởi động trang 77 Toán 8 Tập 2: Những cành lá giống nhau về hình dạng nhưng khác nhau về kích thước tạo nên vẻ đẹp hài hòa trong tự nhiên.

Lời giải:

Trong hình vẽ trên, các hình có cùng màu thì đồng dạng với nhau.

1. Hình đồng dạng phối cảnh

Khám phá 1 trang 77 Toán 8 Tập 2: a) Cho đoạn thẳng AB và điểm O (O không thuộc đường thẳng AB). Kẻ các tia OA, OB. Trên tia OA, OB lần lượt lấy các điểm A', B' sao cho OA' = 3OA, OB' = 3OB (Hình 1a).

i) A'B' có song song với AB không?

ii) Tính tỉ số $\frac{A\text{'}B\text{'}}{\mathrm{AB}}$ .

b) Cho tam giác ABC và điểm O. Kẻ các tia OA, OB, OC. Trên tia OA, OB, OC lấy các điểm A', B', C' sao cho OA' = 3OA, OB' = 3OB, OC' = 3OC (Hình 1b).

i) Tính và so sánh các tỉ số  $\frac{A\text{'}B\text{'}}{\mathrm{AB}},\frac{A\text{'}C\text{'}}{\mathrm{AC}},\frac{B\text{'}C\text{'}}{\mathrm{BC}}$.

ii) Chứng minh tam giác A'B'C' (hình T′) đồng dạng với tam giác ABC (hình T)

Lời giải:

a)

i) Xét tam giác OA'B' có:  $\frac{\mathrm{OA}\text{'}}{\mathrm{OA}}=\frac{\mathrm{OB}\text{'}}{\mathrm{OB}}=3$.

Theo định lí Thales đảo, ta có: AB // A'B'.

ii) Tam giác OA'B' có AB // A'B', theo hệ quả định lí Thales, ta có: 

$\frac{\mathrm{OA}\text{'}}{\mathrm{OA}}=\frac{\mathrm{OB}\text{'}}{\mathrm{OB}}=\frac{A\text{'}B\text{'}}{\mathrm{AB}}=3$.

Vậy $\frac{A\text{'}B\text{'}}{\mathrm{AB}}=3$ .

b) 

i) Xét tam giác OA'B' có:  $\frac{\mathrm{OA}\text{'}}{\mathrm{OA}}=\frac{\mathrm{OB}\text{'}}{\mathrm{OB}}$.

Theo định lí Thales đảo ta có: AB // A'B'.

Tam giác OA'B' có AB // A'B'.

Theo hệ quả định lí Thales, ta có: 

$\frac{\mathrm{OA}\text{'}}{\mathrm{OA}}=\frac{\mathrm{OB}\text{'}}{\mathrm{OB}}=\frac{A\text{'}B\text{'}}{\mathrm{AB}}=3$.

Tương tự, ta có:  $\frac{A\text{'}B\text{'}}{\mathrm{AB}}=3,\frac{A\text{'}C\text{'}}{\mathrm{AC}}=3$.

Vậy  $\frac{A\text{'}B\text{'}}{\mathrm{AB}}=\frac{A\text{'}C\text{'}}{\mathrm{AC}}=\frac{B\text{'}C\text{'}}{\mathrm{BC}}=3$.

ii) Xét tam giác A'B'C' và ABC có:  $\frac{A\text{'}B\text{'}}{\mathrm{AB}}=\frac{A\text{'}C\text{'}}{\mathrm{AC}}=\frac{B\text{'}C\text{'}}{\mathrm{BC}}$.

Suy ra ΔA′B′C′ ᔕ ΔABC (c.c.c).

Khám phá 2 trang 77 Toán 8 Tập 2: Cho tứ giác ABCD và điểm O (O không thuộc đường thẳng AB, BC, CD, DA). Trên tia OA, OB, OC, OD lần lượt lấy các điểm A', B', C', D' sao cho $\mathrm{OA}\text{'}=\frac{1}{2}\mathrm{OA},\mathrm{OB}\text{'}=\frac{1}{2}\mathrm{OB},\mathrm{OC}\text{'}=\frac{1}{2}\mathrm{OC}$  (Hình 2).

Tính và so sánh các tỉ số $\frac{A\text{'}B\text{'}}{\mathrm{AB}},\frac{A\text{'}D\text{'}}{\mathrm{AD}},\frac{B\text{'}C\text{'}}{\mathrm{BC}},\frac{C\text{'}D\text{'}}{\mathrm{CD}}$ .

Lời giải:

Xét tam giác OA′B′có: $\frac{\mathrm{OA}\text{'}}{\mathrm{OA}}=\frac{\mathrm{OB}\text{'}}{\mathrm{OB}}=2$

Theo định lí Thales đảo, ta có: AB // A'B'

Tam giác OA′B′ có AB // A'B'

Theo hệ quả định lí Thales, ta có: 

$\frac{\mathrm{OA}\text{'}}{\mathrm{OA}}=\frac{\mathrm{OB}\text{'}}{\mathrm{OB}}=\frac{A\text{'}B\text{'}}{AB}=2$.

Tương tự, ta có:  $\frac{A\text{'}D\text{'}}{\mathrm{AD}}=2,\frac{A\text{'}C\text{'}}{\mathrm{AC}}=2,\frac{B\text{'}C\text{'}}{\mathrm{BC}}=2$.

Vậy  $\frac{A\text{'}B\text{'}}{\mathrm{AB}}=\frac{A\text{'}D\text{'}}{\mathrm{AD}}=\frac{A\text{'}C\text{'}}{\mathrm{AC}}=\frac{B\text{'}C\text{'}}{\mathrm{BC}}=2$.

Giải Toán 8 trang 78 Tập 2

Thực hành 1 trang 78 Toán 8 Tập 2: Cho ba tấm ảnh được được đặt trên lưới ô vuông như Hình 4. Hãy chỉ ra ba cặp hình, trong mỗi cặp ba cặp hình, trong mỗi cặp có hình này đồng dạng phối cảnh với hình kia và chỉ ra tỉ số đồng dạng tương ứng.

Lời giải:

• Hình đồng dạng phối cảnh với hình ABCD đồng dạng phối cảnh với hình A'B'C'D' theo tỉ số đồng dạng là:

$\frac{\mathrm{AB}}{A\text{'}B\text{'}}=\frac{\mathrm{BC}}{B\text{'}C\text{'}}=\frac{\mathrm{CD}}{C\text{'}D\text{'}}=\frac{\mathrm{DA}}{D\text{'}A\text{'}}=2$.

• Hình đồng dạng phối cảnh với hình ABCD đồng dạng phối cảnh với hình A''B''C''D'' theo tỉ số đồng dạng là:

$\frac{\mathrm{AB}}{A\text{'}\text{'}B\text{'}\text{'}}=\frac{\mathrm{BC}}{B\text{'}\text{'}C\text{'}\text{'}}=\frac{\mathrm{CD}}{C\text{'}\text{'}D\text{'}\text{'}}=\frac{\mathrm{DA}}{D\text{'}\text{'}A\text{'}\text{'}}=\frac{2}{3}$.

• Hình đồng dạng phối cảnh với hình A'B'C'D'  đồng dạng phối cảnh với hình A''B''C''D'' theo tỉ số đồng dạng là:

$\frac{A\text{'}B\text{'}}{A\text{'}\text{'}B\text{'}\text{'}}=\frac{B\text{'}C\text{'}}{B\text{'}\text{'}C\text{'}\text{'}}=\frac{C\text{'}D\text{'}}{C\text{'}\text{'}D\text{'}\text{'}}=\frac{D\text{'}A\text{'}}{D\text{'}\text{'}A\text{'}\text{'}}=3$.

Vậy ba cặp hình đồng dạng phối cảnh gồm: hình ABCD đồng dạng phối cảnh với hình

A'B'C'D' theo tỉ số đồng dạng là 2, hình ABCD đồng dạng phối cảnh với hình

A''B''C''D'' theo tỉ số đồng dạng là $\frac{2}{3}$ , hình A'B'C'D'  đồng dạng phối cảnh với hình

A''B''C''D'' theo tỉ số đồng dạng là 3.

2. Hai hình đồng dạng

Giải Toán 8 trang 79 Tập 2

Khám phá 3 trang 79 Toán 8 Tập 2: Cho hai hình đồng dạng phối cảnh ℋ và ℋ1, biết tỉ số đồng dạng  $k=\frac{2}{3}$.

a) Tính x, y.

b) So sánh hình ℋ1 với hình ℋ'.

Lời giải:

a) Vì ℋ và ℋ1 là hai hình đồng dạng phối cảnh với tỉ số đồng dạng  $k=\frac{2}{3}$.

Do đó  $x=3,6:\frac{2}{3}=5,4\left(\mathrm{cm}\right)$,  $y=2:\frac{2}{3}=3\left(\mathrm{cm}\right)$.

Vậy x = 5,4 cm; y = 3 cm.

b) Quan sát hình vẽ, ta thấy:

• Hình ℋ1 là hình chữ nhật có chiều dài là x = 5,4 cm và chiều rộng là y = 3 cm;

• Hình ℋ' là hình chữ nhật có chiều dài là 5,4 cm và chiều rộng là 3 cm.

Vậy hình ℋ1 bằng hình ℋ'.

Thực hành 2 trang 79 Toán 8 Tập 2: Trong Hình 7 dưới đây, hãy chọn ra các cặp hình đồng dạng với nhau. Tìm tỉ số đồng dạng tương ứng.

Lời giải:

• Hình 7M đồng dạng với hình 8P theo tỉ số đồng dạng là $\frac{8,4}{4,8}=\frac{7}{4}\cdot$

• Hình 7N đồng dạng với hình 7Q theo tỉ số đồng dạng là $\frac{3}{4,8}=\frac{5}{8}\cdot$

Giải Toán 8 trang 80 Tập 2

Vận dụng trang 80 Toán 8 Tập 2: Trong các Hình 8b, c, d, hình nào đồng dạng với Hình 8a? Giải thích.

Lời giải:

• Xét hình 8a và hình 8b ta có:

Tỉ lệ của chiều dài – chiều dài và chiều rộng – chiều rộng của hình 8a và hình 8b lần lượt là: $\frac{9}{7,5}=1,2;\frac{5}{5}=1$ .

Khi đó, không tồn tại hình động dạng phối cảnh nào của hình 8a để bằng hình 8b.

Do đó, hình 8a và hình 8b không đồng dạng với nhau.

• Xét hình 8a và hình 8c ta có:

Tỉ lệ của chiều dài – chiều dài và chiều rộng – chiều rộng của hình 8a và hình 8c lần lượt là: $\frac{9}{4,5}=2;\frac{5}{2,5}=2$ .

Khi đó, tồn tại hình động dạng phối cảnh của hình 8a bằng hình 8c (hình 8a thu nhỏ với tỉ số 2).

Do đó, hình 8a và hình 8c đồng dạng với nhau.

• Xét hình 8a và hình 8d ta có:

Tỉ lệ của chiều dài – chiều dài và chiều rộng – chiều rộng của hình 8a và hình 8d lần lượt là: $\frac{9}{12}=0,75;\frac{5}{4}=1,25$ .

Khi đó, không tồn tại hình động dạng phối cảnh nào của hình 8a để bằng hình 8b.

Do đó, hình 8a và hình 8b không đồng dạng với nhau.

Bài tập

Giải Toán 8 trang 82 Tập 2

Bài 1 trang 82 Toán 8 Tập 2: Trong các hình dưới đây, hãy chọn ra các cặp hình đồng dạng.

Lời giải:

Quan sát Hình 14, ta thấy:

Các cặp hình đồng dạng: Hình 14a và Hình 14g; Hình d và Hình d; Hình c và Hình e.

Bài 2 trang 82 Toán 8 Tập 2: Trong các hình dưới đây, hai hình nào đồng dạng với nhau?

Lời giải:

Quan sát Hình 15, ta thấy:

• Xét hình 15a và hình 15b có:

Tỉ lệ của chiều dài – chiều dài và chiều rộng – chiều rộng của hình 15a và hình 15b lần lượt là:  $\frac{3}{4,5}=\frac{2}{3};\frac{2,6}{3,9}=\frac{2}{3}$.

Khi đó, tồn tại hình động dạng phối cảnh của hình 15a bằng hình 15b.

Do đó, hình 15a và hình 15b đồng dạng với nhau.

• Xét hình 15b và hình 15c có:

Tỉ lệ của chiều dài – chiều dài và chiều rộng – chiều rộng của hình 15b và hình 15c lần lượt là: $\frac{4,5}{3}=1,5;\frac{3,9}{2}=1,95$ .

Khi đó, không tồn tại hình động dạng phối cảnh nào của hình 15b để bằng hình 15c.

Do đó, hình 15b và hình 15c không đồng dạng với nhau.

• Xét hình 15c và hình 15c có:

Tỉ lệ của chiều dài – chiều dài và chiều rộng – chiều rộng của hình 15a và hình 15c lần lượt là: $\frac{3}{3}=1;\frac{2,6}{3}=1,3$.

Khi đó, không tồn tại hình động dạng phối cảnh nào của hình 15a để bằng hình 15c.

Do đó, hình 15a và hình 15c không đồng dạng với nhau.

Giải Toán 8 trang 83 Tập 2

Bài 3 trang 83 Toán 8 Tập 2: Trong các Hình 16b, c, d, hình nào đồng dạng với Hình 16a? Giải thích.

Lời giải:

• Xét hình 16a và hình 16b có:

Tỉ lệ của chiều dài – chiều dài và chiều rộng – chiều rộng của hình 16a và hình 16b lần lượt là: $\frac{7}{10,5}=\frac{2}{3};\frac{3}{4,5}=\frac{2}{3}$ .

Do đó, tồn tại hình động dạng phối cảnh của hình 16a bằng hình 16b. Do đó, hình 16a và hình 16b đồng dạng với nhau.

• Xét hình 16a và hình 16c có:

Tỉ lệ của chiều dài – chiều dài và chiều rộng – chiều rộng của hình 16a và hình 16c lần lượt là: $\frac{7}{14}=\frac{1}{2};\frac{3}{3,5}=\frac{6}{7}$ .

Do đó, không tồn tại hình động dạng phối cảnh nào của hình 16a để bằng hình 16c. Do đó, hình 16a và hình 16c không đồng dạng với nhau.

• Xét hình 16a và hình 16d có:

Tỉ lệ của chiều dài – chiều dài và chiều rộng – chiều rộng của hình 16a và hình 16d lần lượt là: $\frac{7}{20};\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$

Do đó, không tồn tại hình động dạng phối cảnh nào của hình 16a để bằng hình 16d. Do đó, hình 16a và hình 16d không đồng dạng với nhau.

Do đó, không tồn tại hình động dạng phối cảnh nào của hình 16a để bằng hình 16d. Do đó, hình 16a và hình 16d không đồng dạng với nhau.

Bài 4 trang 83 Toán 8 Tập 2: Hình 17b là Hình 17a sau khi phóng to với k = 1,5. Nếu kích thước của Hình 17a là 4 × 6 thì kích thước của Hình 18b là bao nhiêu?

Lời giải:

Ta có: 4.1,5 = 6; 6.1,5 = 9.

Vậy sau khi phóng to với k = 1,5 nếu kích thước của Hình 17a là 4 × 6 thì kích thước của Hình 17b là 6 × 9.