Giải bài tập Toán lớp 8 Bài 3: Hàm số bậc nhất y = ax + b (a ≠ 0)

Giải Toán 8 trang 16 Tập 2

Khởi động trang 16 Toán 8 Tập 2: Có một cái bể đã chứa sẵn 5 m3 nước. Người ta bắt đầu mở một vòi nước cho chảy vào bể, mỗi giờ chảy được 2 m3. Hãy tính:

a) Lượng nước chảy vào bể sau 1 giờ;

b) Lượng nước chảy vào bể sau x giờ;

c) Lượng nước y có trong bể sau x giờ;

Lời giải:

a) Lượng nước chảy vào bể sau 1 giờ: 2.1 = 2 (m3).

b) Lượng nước chảy vào bể sau x giờ: 2x (m3).

c) Lượng nước y có trong bể sau x giờ: y = 5 + 2x (m3).

1. Hàm số bạc nhất

Khám phá 1 trang 16 Toán 8 Tập 2: Trong thực tế chúng ta thường gặp các mô hình hấp dẫn đến những hàm số có dạng như: y = 2x + 5; y = −x + 4; y = 5x; ... Những hàm số này được gọi là hàm số bậc nhất. Vậy hàm số bậc nhất có dạng như thế nào?

Lời giải:

Hàm số bậc nhất là hàm số được cho bởi công thức y = ax + b với a, b là các số cho trước và a ≠ 0.

Thực hành 1 trang 16 Toán 8 Tập 2: Tìm các hàm số bậc nhất trong các hàm số sau đây và chỉ ra các hệ số a, b của các hàm số đó: y = 4x − 7; y = x2; y = −6x − 4; y = 4x;$y=\frac{3}{x}$ ; s = 5v + 8; m = 30n – 25.

Lời giải:

Các hàm số bậc nhất là:

y = 4x − 7 với a = 4 và b = −7

y = −6x − 4 với a = −6 và b = −4

y = 4x với a = 4 và b = 0

s = 5v + 8 với a = 5 và b = 8

m = 30n − 25 với a = 30 và b = −25

Vận dụng 1 trang 16 Toán 8 Tập 2: Một hình chữ nhật có các kích thước là 2 m và 3 m. Gọi y là chu vi của hình chữ nhật này sau khi tăng chiều dài và chiều rộng thêm x (m). Hãy chứng tỏ y là một hàm số bậc nhất theo biến số x. Tìm các hệ số a, b của hàm số này.

Lời giải:

Chiều dài sau khi tăng x (m) là: 3 + x (m).

Chiều rộng sau khi tăng x (m)  là: 2 + x (m).

Chu vi hình chữ nhật sau khi chiều dài và chiều rộng tăng là:

y = (3 + x + 2 + x).2 = 4x + 12 (m).

Suy ra y là một hàm số bâc nhất theo biến số x với a = 4 và b = 12.

2. Bảng giá trị của hàm số bậc nhất

Giải Toán 8 trang 17 Tập 2

Khám phá 2 trang 17 Toán 8 Tập 2: Lượng nước y (tính theo m3) có trong một bể nước sau x giờ mở vòi cấp nước được cho bởi hàm số y = 2x + 3. Tính lượng nước có trong bể sau 0 giờ; 1 giờ; 2 giờ; 3 giờ; 10 giờ và hoàn thành bảng giá trị sau:

x	0	1	2	3	10
y = f(x) = 2x + 3	?	?	?	?	?

Lời giải:

• Với x = 0 ta có: y = 2.0 + 3 = 3

• Với x = 1 ta có: y = 2.1 + 3 = 5

• Với x = 2 ta có: y = 2.2 + 3 = 7

• Với x = 3 ta có: y = 2.3 + 3 = 9

• Với x = 10 ta có: y = 2.10 + 3 = 23

x	0	1	2	3	10
y = f(x) = 2x + 3	3	5	7	9	23

 

Thực hành 2 trang 17 Toán 8 Tập 2: Lập bảng giá trị của mỗi hàm số bậc nhất sau:

y = f(x) = 4x − 1 và y = h(x) = −0,5x + 8

với x lần lượt bằng −3; −2; −1; 0; 1; 2; 3.

Lời giải:

• Với x = −3 ta có: y = f(−3) = 4.(−3) – 1 = −13;

• Với x = −2 ta có: y = f(−2) = 4.(−2) – 1 = −9;

• Với x = −1 ta có: y = f(−1) = 4.(−1) – 1 = −5;

• Với x = 0 ta có: y = f(0) = 4.0 – 1 = −1;

• Với x = 1 ta có: y = f(1) = 4.1 – 1 = 3;

• Với x = 2 ta có: y = f(2) = 4.2 – 1 = 7;

• Với x = 3 ta có: y = f(3) = 4.3 – 1 = 11;

• Với x = −3 ta có: y = h(−3) = −0,5.(−3) + 8 = 9,5;

• Với x = −2 ta có: y = h(−2) = −0,5.(−3) + 8 = 9;

• Với x = −1 ta có: y = h(−1) = −0,5.(−3) + 8 = 8,5;

• Với x = 0 ta có: y = h(0) = −0,5.0 + 8 = 8;

• Với x = 1 ta có: y = h(1) = −0,5.1 + 8 = 7,5;

• Với x = 2 ta có: y = h(2) = −0,5.2 + 8 = 7;

• Với x = 3 ta có: y = h(3) = −0,5.3 + 8 = 6,5.

Ta có bảng giá trị sau:

x	−3	−2	−1	0	1	2	3
y = 4x – 1	−13	−9	−5	−1	3	7	11

 

x	−3	−2	−1	0	1	2	3
y = −0,5x + 8	9,5	9	8,5	8	7,5	7	6,5

 

Vận dụng 2 trang 17 Toán 8 Tập 2: Một xe khách khởi hành từ bến xe phía Bắc bưu điện thành phố Nha Trang để đi ra thành phố Đà Nẵng với tốc độ 40 km/h (Hình 2)

a) Biết rằng bến xe cách bưu điện thành phố Nha Trang 6 km. Sau x giờ, xe khách cách bưu điện thành phố y km. Tính y theo x.

b) Chứng minh rằng y là một hàm số bậc nhất theo biến số x.

c) Hoàn thành bảng giá trị của hàm số ở câu b) và giải thích ý nghĩa của bảng giá trị này:

x	0	1	2	3
y	?	?	?	?

Lời giải:

a) Quãng đường đi được sau x giờ là : 40x (km)

Vậy sau x giờ, xe khách cách bưu điện thành phố là : y = 40x + 6 (km)

b) Vì y có dạng y = ax + b và a ≠ 0 nên y là hàm số bậc nhất theo biến số x.

c) 

• Với x = 0 ta có y = 40.0 + 6 = 6

• Với x = 1 ta có y = 40.1 + 6 = 46

• Với x = 2 ta có y = 40.2 + 6 = 86

• Với x = 3 ta có y = 40.3 + 6 = 126

Ta có bảng giá trị sau:

x	0	1	2	3
y	6	46	86	126

Ý nghĩa:

- Tại điểm khởi hành, xe khách cách bưu điện thành phố Nha Trang 6 km.

- Sau khi đi được 1 giờ xe khách cách bưu điện thành phố Nha Trang 46 km.

- Sau khi đi được 2 giờ xe khách cách bưu điện thành phố Nha Trang 86 km.

- Sau khi đi được 3 giờ xe khách cách bưu điện thành phố Nha Trang 126 km.

3. Đồ thị của hàm số bậc nhất

Giải Toán 8 trang 18 Tập 2

Khám phá 3 trang 18 Toán 8 Tập 2: Hùng mua x mét dây điện và phải trả số tiền là y nghìn đồng. Giá trị tương ứng giữa x và y được cho bởi bảng sau:

x	1	2	3	4
y	4	8	12	16

Hùng vẽ các điểm M(1; 4), N(2; 8), P(3; 12), Q(4; 16) trên mặt phẳng tọa độ Oxy như Hình 3. Hãy dùng thước thẳng để kiểm tra các điểm O, M, N, P, Q có thẳng hàng không.

Lời giải:

Dùng thước kiểm tra ta thấy O, M, N, P, Q thẳng hàng.

Giải Toán 8 trang 20 Tập 2

Thực hành 3 trang 20 Toán 8 Tập 2: a) Vẽ đồ thị của các hàm số: y = 0,5x; y = −3x; y = x.

b) Các đồ thị sau đây là đồ thị của hàm số nào?

Lời giải:

a)

+) Đồ thị y = 0,5x

Cho x = 2 ta có y = 1. Ta vẽ điểm A (2; 1).

Đồ thị hàm số y = 0,5x là đường thẳng đi qua các điểm O(0; 0) và A(2; 1).

+) Đồ thị y = −3x

Cho x = 1 ta có y = −3. Ta vẽ điểm B (1; −3),

Đồ thị hàm số y = −3x là đường thẳng đi qua các điểm O(0; 0) và A(1; −3),

+) Đồ thị y = x

Cho x = 2 ta có y = 2. Ta vẽ điểm K (2; 2).

Đồ thị hàm số y = x là đường thẳng đi qua các điểm O(0; 0) và K(2; 2).

b)

+) Đồ thị Hình 6a) đi qua A(1; 2) và O(0; 0) suy ra đây là đồ thị hàm số y = 2x.

+) Đồ thị Hình 6b) đi qua B(−2; 2) và O(0; 0) suy ra đây là đồ thị của hàm số y = −x.

+) Đồ thị Hình 6c) đi qua C(2; −1) và O(0; 0) suy ra đây là đồ thị của hàm số y = −0,5x.

Khám phá 4 trang 20 Toán 8 Tập 2: Cho hai hàm số y = f(x) = x và y = g(x) = x + 3.

a) Thay dấu ? bằng số thích hợp

x	−2	−1	0	1	2
y = f(x) = x	?	?	?	?	?
y = g(x) = x + 3	?	?	?	?	?

b) Trên cùng một mặt phẳng tọa độ, vẽ đồ thị hàm số y = f(x) và biều diễn các điểm có tọa độ thỏa mãn hàm số y = g(x) có trong bảng trên.

c) Kiểm tra xem các điểm thuộc đồ thị hàm số y = g(x) vẽ ở câu b có thẳng hàng không? Và dự đoán cách vẽ đồ thị của hàm số y = g(x).

Lời giải:

a)

x	−2	−1	0	1	2
y = f(x) = x	−2	−1	0	1	2
y = g(x) = x + 3	1	2	3	4	5

 

b) Đồ thị hàm số y = f(x) đi qua điểm O(0; 0) và điểm có tọa độ A(1; 1).

Đồ thị hàm số y = f(x) đi qua điểm B(−2; 1), C(−1; 2), D(0; 3), E(1; 4), F(2; 5).

c) Các điểm thuộc đồ thị hàm số y = g(x) thẳng hàng với nhau nên đồ thị hàm số

y = g(x) song song với đồ thị hàm số y = f(x).

Giải Toán 8 trang 21 Tập 2

Thực hành 4 trang 21 Toán 8 Tập 2: Vẽ đồ thị của các hàm số sau:

a) y = 5x + 2;

b) y = −2x – 6.

Lời giải:

a) Với đồ thị hàm số y = 5x + 2 

• Cho x = 0 thì y = 2.

• Cho x = −1 thì y = −3.

Đồ thị của hàm số y = 5x + 2 là đường thẳng đi qua hai điểm M(0; 2) và N(−1; −3).

b) Với đồ thị hàm số y = −2x – 6.

• Cho x = 0 thì y = −6.

• Cho y = 0 thì x = −3.

Đồ thị của hàm số y = −2x − 6là đường thẳng đi qua hai điểm P(0; −6) và Q(−3; 0).

Vận dụng 3 trang 21 Toán 8 Tập 2: Một lò xo có chiều dài ban đầu khi chưa treo vật nặng là 10 cm. Cho biết khi treo thêm lò xo một vật nặng 1 kg thì chiều dài lò xo tăng thêm 3 cm.

a) Tính chiều dài y (cm) của lò xo theo khối lượng x (kg) của vật.

b) Vẽ đồ thị của hàm số y theo biến số x.

Lời giải:

a) y = 3x + 10 (cm)

b) Với đồ thị hàm số y = 3x +10.

• Cho x = −3 thì y = 1.

• Cho x = −2 thì y = 4.

Đồ thị hàm số y = 3x +10 là đường thẳng đi qua hai điểm A(−3; 1) và B(−2; 4).

Bài tập

Giải Toán 8 trang 22 Tập 2

Bài 1 trang 22 Toán 8 Tập 2: Tìm các hàm số bậc nhất trong các hàm số sau đây và xác định các hệ số a, b của chúng

a) y = 4x + 2;

b) y = 5 – 3x;

c) y = 2 + x2;

d) y = −0,2x;

e) $y=\sqrt{5}x+1$ .

Lời giải:

a) y = 4x + 2 là hàm số bậc nhất với a = 4, b = 2.

b) y = 5 – 3x là hàm số bậc nhất với a = −3, b = 5

c) y= 2 + x2 không là hàm số bậc nhất.

d) y = −0,2x là hàm số bậc nhất với a = y = −0,2, b = 0.

e) $y=\sqrt{5}x+1$  là hàm số bậc nhất với $a=-\sqrt{5}$ , b = −1.

Bài 2 trang 22 Toán 8 Tập 2: Với giá trị nào của m thì mỗi hàm số sau đây là hàm số bậc nhất?

a) y = (m − 1)x + m;

b) y = 3 − 2mx.

Lời giải:

a) Điều kiện để hàm số y = (m − 1)x + m là hàm số bậc nhất là m − 1 ≠ 0 hay m ≠ 1.

b) Điều kiện để hàm số y = 3 − 2mx là hàm số bậc nhất là −2m ≠ 0 hay m ≠ 0.

Bài 3 trang 22 Toán 8 Tập 2: a) Vẽ đồ thị các hàm số sau đây trên cùng một mặt phẳng tọa độ:

y = x; y = x + 2; y = −x; y = −x + 2.

b) Bốn đồ thị nói trên cắt nhau tại các điểm O(0; 0), A, B, C. Tứ giác có 4 đỉnh O, A, B, C là hình gì? Giải thích.

Lời giải:

a) • Với hàm số y = x, cho x = 1 thì y = 1.

Đồ thị hàm số y = x đi qua các điểm O(0; 0) và C(1; 1).

• Với hàm số y = x + 2, cho x = 0 thì y = 2, cho x = −1 thì y = 1.

Đồ thị hàm số y = x + 2 đi qua các điểm B(0; 2) và A(−1; 1).

• Với hàm số y = −x, cho x = −1 thì y = 1.

Đồ thị hàm số y = −x đi qua các điểm O(0; 0) và A(−1; 1).

• Với hàm số y = −x + 2, cho x = 0 thì y = 2, cho x = 1 thì y = 1.

Đồ thị hàm số y = −x + 2 đi qua các điểm B (0; 2) và C(1; 1).

b) Ta có: Đường thẳng y = x song song với đường thẳng y = x + 2 suy ra OC // AB.

Đường thẳng y = −x song song với đường thẳng y = −x + 2 suy ra OA // BC.

Tứ giác OABC có: OC // AB, OA // BC

Suy ra tứ giác OABC là hình bình hành.

Hình bình hành OABC có hai đường chéo OB và AC vuông góc và bằng nhau nên tứ giác OABC là hình vuông.

Bài 4 trang 22 Toán 8 Tập 2: Để đổi nhiệt độ từ F (Fehrenheit) sang độ (Celsius), ta dùng công thức $C=\frac{5}{9}\left(F-32\right).$

a) C có phải hàm số bậc nhất theo biến số F không?

b) Hãy tính C khi F = 32 và tính F khi C = 100.

Lời giải:

a) Ta có: $C=-\frac{5}{9}\left(F-32\right)=\frac{5}{9}F-\frac{160}{9}$  (*)

Ta thấy (*) có dạng y = ax + b với $a=\frac{5}{9}\ne 0$  và $b=-\frac{160}{9}$  nên $C=\frac{5}{9}\left(F-32\right)$  là một hàm số bậc nhất theo biến số F.

b) Khi F = 32 ta có:

$C=\frac{5}{9}.32-\frac{160}{9}=0\left(°C\right)$

Khi C = 100, thế vào (*) ta có:

$100=\frac{5}{9}F-\frac{160}{9}\iff F=212$.

Bài 5 trang 22 Toán 8 Tập 2: Gọi C và r lần lượt là chu vi và bán kính của một đường tròn. Hãy chứng tỏ C là một hàm số bậc nhất theo biến số r. Tìm hệ số a, b của hàm số này.

Lời giải:

Công thức tính chu vi hình tròn là: C = 2πr

Hàm số C = 2πr có dạng y = ax + b với a = 2π ≠ 0 và b = 0 nên C là một hàm số bậc nhất theo biến số r.

Bài 6 trang 22 Toán 8 Tập 2: Một người đi bộ trên đường thẳng với tốc độ v (km/h). Gọi s (km) là quãng đường đi được trong t (giờ).

a) Lập công thức tính s theo t.

b) Vẽ đồ thị của hàm số s theo biến số t khi v = 4.

Lời giải:

a) s = vt.

b) Hàm số: s = 4t.

Đồ thị hàm số s = 4t là đường thẳng đi qua 2 điểm O(0; 0); A(1; 4).