Giải bài tập Toán lớp 8 Bài 2: Các trường hợp đồng dạng của hai tam giác

Giải Toán 8 trang 67 Tập 2

Khởi động trang 67 Toán 8 Tập 2: Các trường hợp đồng dạng của hai tam giác có điều gì khác với các trường hợp bằng nhau của hai tam giác?

Lời giải:

Sau bài học này, ta giải quyết bài toán trên như sau:

Trường hợp	Giống nhau	Khác nhau
		Bằng nhau	Đồng dạng
1	3 cạnh	3 cạnh tương ứng bằng nhau	3 cạnh tương ứng tỉ lệ
2	2 cạnh 1 góc	2 cạnh tương ứng và một góc kề với hai cạnh bằng nhau	2 cạnh tương ứng tỉ lệ
3	2 góc bằng nhau	1 cạnh và 2 góc kề tương ứng bằng nhau	Chỉ 2 góc bằng nhau, không cần có điều kiện cạnh

1. Trường hợp đồng dạng thứ nhất (c.c.c)

Khám phá 1 trang 67 Toán 8 Tập 2: Cho tam giác ABC và tam giác A'B'C' có các kích thước như Hình 1. Trên cạnh AB và AC của tam giác ABC lần lượt lấy hai điểm M, N sao cho AM = 2 cm, AN = 3 cm.

a) So sánh các tỉ số  $\frac{A\text{'}B\text{'}}{\mathrm{AB}},\frac{A\text{'}C\text{'}}{\mathrm{AC}},\frac{B\text{'}C\text{'}}{\mathrm{BC}}$.

b) Tính độ dài đoạn thẳng MN.

c) Em có nhận xét gì về mối quan hệ giữa các tam giác ABC, AMN và A'B'C'.

Lời giải:

a) Ta có: $\frac{A\text{'}B\text{'}}{\mathrm{AB}}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$ ;

               $\frac{A\text{'}C\text{'}}{\mathrm{AC}}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$ ;

               $\frac{B\text{'}C\text{'}}{\mathrm{BC}}=\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$ .

Do đó $\frac{A\text{'}B\text{'}}{\mathrm{AB}}=\frac{B\text{'}C\text{'}}{\mathrm{BC}}=\frac{A\text{'}C\text{'}}{\mathrm{AC}}=\frac{1}{3}$ .

b) Tam giác ABC có  $\frac{\mathrm{AM}}{\mathrm{AB}}=\frac{\mathrm{AN}}{\mathrm{AC}}=\frac{1}{3}$, theo định lí Thalès đảo suy ra MN // BC.

Khi đó ΔAMN ᔕ ΔABC nên $\frac{\mathrm{AM}}{\mathrm{AB}}=\frac{\mathrm{AN}}{\mathrm{AC}}=\frac{\mathrm{MN}}{\mathrm{BC}}=\frac{1}{3}$ suy ra MN = 4.

c) Xét tam giác AMN và A'B'C' có:

• MN = B'C' = 4;

• AM = A'B' = 2;

• AN = A'C' = 3.

Suy ra ΔAMN = ΔA′B′C′ (c.c.c).

Nhận xét: ΔAMN = ΔA′B′C′, ΔA′B′C′ ᔕ ΔABC và ΔAMN ᔕ ΔABC.

Giải Toán 8 trang 68 Tập 2

Thực hành 1 trang 68 Toán 8 Tập 2: Tìm trong Hình 4 các cặp tam giác đồng dạng.

Lời giải:

• Hình a) và c) là cặp tam giác đồng dạng vì có tỉ lệ các cạnh tương ứng bằng nhau:  $\frac{21}{7}=\frac{25}{8\frac{1}{3}}=\frac{9}{3}=3$.

• Hình b) và d) là cặp tam giác đồng dạng vì có tỉ lệ các cạnh tương ứng bằng nhau:  $\frac{14}{7}=\frac{14}{7}=\frac{6}{3}=2$.

2. Trường hợp đồng dạng thứ hai (c.g.c)

Khám phá 2 trang 68 Toán 8 Tập 2: Cho tam giác DEF và ABC có $\mathrm{DE}=\frac{1}{3}\mathrm{AB},\mathrm{DF}=\frac{1}{3}\mathrm{AC},\hat{D}=\hat{A}$ (Hình 5). Trên tia AB, lấy điểm M sao cho AM = DE. Qua M kẻ MN // BC (N ∈ AC).

a) So sánh các tỉ số  $\frac{\mathrm{AM}}{\mathrm{AB}}$ và  $\frac{\mathrm{AN}}{\mathrm{AC}}$.

b) So sánh AN và DF.

c) Tam giác AMN có đồng dạng với tam giác ABC không?

d) Dự đoán sự đồng dạng của hai tam giác DEF và ABC.

Lời giải:

a) Tam giác ABC có MN // BC, theo định lí Thalès, ta có:  $\frac{\mathrm{AM}}{\mathrm{AB}}=\frac{\mathrm{AN}}{\mathrm{AC}}$.

b) Ta có $\frac{\mathrm{AM}}{\mathrm{AB}}=\frac{\mathrm{AN}}{\mathrm{AC}};\frac{\mathrm{DE}}{\mathrm{AB}}=\frac{\mathrm{DF}}{\mathrm{AC}}=\frac{1}{3}$ ; AM = DF suy ra AN = DF.

c) Tam giác ABC có MN cắt AB, AC lần lượt tại M và N và MN // BC.

Do đó ΔAMN ᔕ ΔABC.

d) Xét ∆DEF và ∆AMN có:

$\hat{D}=\hat{A}$

DE = AM (gt)

DF = AN (cmt)

Do đó ΔDEF = ΔAMN (c.g.c)

Dự đoán: ΔDEF ᔕ ΔABC.

Giải Toán 8 trang 69 Tập 2

Thực hành 2 trang 69 Toán 8 Tập 2: Cho tam giác ADE và tam giác ACF có các kích thước như trong Hình 8. Chứng minh rằng ΔADE ᔕ ΔACF.

Lời giải:

Ta có: $\frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{AF}}=\frac{3}{4};\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{AC}}=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}$ .

Suy ra  $\frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{AF}}=\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{AC}}$.

Xét ΔADE và ΔACF có:

$\frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{AF}}=\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{AC}}$(cmt)

 $\widehat{\mathrm{DAE}}=\widehat{\mathrm{CAF}}$ (hai góc đối đỉnh)

Vậy ΔADE ᔕ ΔACF (c.g.c).

3. Trường hợp đồng dạng thứ ba (g.g)

Khám phá 3 trang 69 Toán 8 Tập 2: Cho hai tam giác ABC và A'B'C' có $\hat{A}=\widehat{A\text{'}},\hat{C}=\widehat{C\text{'}}$ (Hình 9).

Trên cạnh AC, Lấy điểm D sao cho DC = A'C'. Qua D kẻ đường thẳng song song với AB cắt cạnh BC tại E.

a) Tam giác DEC có đồng dạng với tam giác ABC không?

b) Nhận xét về mối quan hệ giữa tam giác A'B'C' và tam giác DEC.

c) Dự đoán về sự đồng dạng của hai tam giác A'B'C' và ABC.

Lời giải:

a) Tam giác ABC có DE // AB nên ΔDEC ᔕ ΔABC.

b) ΔDEC ᔕ ΔABC, do đó $\hat{D}=\hat{A}$

Xét ΔA′B′C và ΔDEC có:

$\widehat{A\text{'}}=\hat{D}$ (cùng bằng )

A'C' = DC (gt)

$\widehat{C\text{'}}=\hat{C}$ (gt)

Suy ra ΔA′B′C′ = ΔDEC (g.c.g).

c) Từ câu b, ta có: ΔA′B′C′ = ΔDEC.

Dự đoán: ΔA′B′C′ ᔕ ΔABC.

Giải Toán 8 trang 70 Tập 2

Thực hành 3 trang 70 Toán 8 Tập 2: Quan sát Hình 12.

a) Chứng minh rằng ΔABC ᔕ ΔA′B′C′.

b) Tính độ dài B'C'.

Lời giải:

a) Tam giác ABC có:  $\hat{C}=180°-\left(\hat{A}+\hat{B}\right)=41°$.

Xét ΔABC và ΔA'B'C' có:

$\hat{A}=\widehat{A\text{'}}=79°$

$\hat{C}=\widehat{C\text{'}}=41°$

Suy ra ΔABC ᔕ ΔA′B′C′ (g.g).

b) ΔABC ᔕ ΔA′B′C′ nên $\frac{\mathrm{AB}}{A\text{'}B\text{'}}=\frac{\mathrm{BC}}{B\text{'}C\text{'}}$ (các cạnh tương ứng tỉ lệ

Hay $\frac{4}{6}=\frac{6}{B\text{'}C\text{'}}$  nên $B\text{'}C\text{'}=\frac{6.6}{4}=9$  (cm).

Vậy B'C' = 9 cm.

Vận dụng 1 trang 70 Toán 8 Tập 2: Cho hình thang ABCD (AB // CD) có AB = 6 m, CD = 15 m, OD = 8 m (Hình 13). Tính độ dài đoạn thẳng OB.

Lời giải:

Ta có AB // CD nên $\widehat{\mathrm{OAB}}=\widehat{\mathrm{OCD}},\widehat{\mathrm{OBA}}=\widehat{\mathrm{ODC}}$ (cặp góc so le trong)

Suy ra ΔOAB ᔕ ΔOCD nên $\frac{\mathrm{OB}}{\mathrm{OD}}=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{CD}}=\frac{6}{15}$ suy ra $\mathrm{OB}=\frac{15}{6}$ 

Vận dụng 2 trang 70 Toán 8 Tập 2: Qua các trường hợp đồng dạng của hai tam giác, hãy trả lời câu hỏi ở Hoạt động khởi động (trang 67).

Lời giải:

Trường hợp	Giống nhau	Khác nhau
		Bằng nhau	Đồng dạng
1	3 cạnh	3 cạnh tương ứng bằng nhau	3 cạnh tương ứng tỉ lệ
2	2 cạnh 1 góc	2 cạnh tương ứng và một góc kề với hai cạnh bằng nhau	2 cạnh tương ứng tỉ lệ
3	2 góc bằng nhau	1 cạnh và 2 góc kề tương ứng bằng nhau	Chỉ 2 góc bằng nhau, không cần có điều kiện cạnh

Bài tập

Bài 1 trang 70 Toán 8 Tập 2: a) Tam giác AFE và MNG ở Hình 14 có đồng dạng với nhau không? Vì sao?

b) Biết tam giác AFE có chu vi bằng 15 cm. Tính chu vi tam giác MNG.

Lời giải:

a) Xét ∆AFE và ∆MNG có: 

$\frac{\mathrm{AF}}{\mathrm{MN}}=\frac{b}{3b}=\frac{1}{3};\frac{\mathrm{FE}}{\mathrm{NG}}=\frac{a}{3a}=\frac{1}{3};\frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{MG}}=\frac{c}{3c}=\frac{1}{3}$.

Suy ra  $\frac{\mathrm{AF}}{\mathrm{MN}}=\frac{\mathrm{FE}}{\mathrm{NG}}=\frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{MG}}$.

Vậy ΔAFE ᔕ ΔMNG (c.c.c).

b) Tam giác AFE đồng dạng với tam giác MNG theo tỉ số $\frac{1}{3}$ nên tỉ số chu vi của hai tam giác đó cũng bằng $\frac{1}{3}$.

Vậy chu vi tam giác MNG là: 15.3 = 45 (cm).

Bài 2 trang 70 Toán 8 Tập 2: Tam giác ABC có độ dài AB = 4 cm, AC = 6 cm, BC = 9 cm. Tam giác A'B'C' đồng dạng với tam giác ABC và có chu vi bằng 66,5 cm. Hãy tính độ dài các cạnh của tam giác A'B'C'.

Lời giải:

Chu vi tam giác ABC: AB + AC + BC = 19.

Tỉ số chu vi của hai tam giác ABC và A'B'C' là:  $k=\frac{19}{66,5}=\frac{2}{7}$.

ΔABC ᔕ ΔA′B′C′ nên  $\frac{\mathrm{AB}}{A\text{'}B\text{'}}=\frac{\mathrm{AC}}{A\text{'}C\text{'}}=\frac{\mathrm{BC}}{B\text{'}C\text{'}}=\frac{2}{7}$.

Vậy: A′B′=14, A′C′=21, $B\text{'}C\text{'}=\frac{63}{2}$ .

Bài 3 trang 70 Toán 8 Tập 2: Một công viên có hai đường chạy bộ hình tam giác đồng dạng như Hình 15. Kích thước của con đường bên trong lần lượt là 300 m, 350 m và 550 m. Cạnh ngắn nhất của con đường bên ngoài là 660 m. Nam chạy bốn vòng trên con đường bên trong, Hùng chạy hai vòng trên con đường bên ngoài. So sánh quãng đường chạy được của hai bạn.

Lời giải:

Cạnh ngắn nhất của con đường bên ngoài là 600.m tương ứng với cạnh ngắn nhất của con đường bên trong là 300 m.

Do đó, con đường bên trong đồng dạng với con đường bên ngoài theo tỉ số $k=\frac{300}{600}=\frac{1}{2}$ nên tỉ số độ dài 2 con đường cũng bằng $\frac{1}{2}$.

Độ dài con đường bên trong là: 300 + 350 + 550 = 1200 (m).

Độ dài con đường bên ngoài: 2.1200 = 2400 (m)

Độ dài quãng đường Nam chạy: 4.1200 = 4800 (m).

Độ dài quãng đường Hùng chạy: 2.2400 = 4800 (m).

Vậy quãng đường chạy được của hai bạn bằng nhau.

Giải Toán 8 trang 71 Tập 2

Bài 4 trang 71 Toán 8 Tập 2: Xét xem cặp tam giác nào trong các Hình 16a, 16b đồng dạng?

Lời giải:

Xét ΔDEF và ΔABC có:

$\frac{\mathrm{DE}}{\mathrm{AB}}=\frac{\mathrm{DF}}{\mathrm{AC}}=\frac{1}{2}$

$\hat{D}=\hat{A}={120}^o$

Vậy ΔDEF ᔕ ΔABC (c.g.c).

Bài 5 trang 71 Toán 8 Tập 2: Trong Hình 17, cho biết DE = 6 cm, EF= 7,8 cm, NP = 13 cm, NM = 10 cm, $\hat{E}=\hat{N}$ và $\hat{P}={42}^o$. Tính $\hat{F}$.

Lời giải:

Xét ΔDEF và ΔMNP ta có:

$\frac{\mathrm{DE}}{\mathrm{MN}}=\frac{\mathrm{EF}}{\mathrm{NP}}=\frac{3}{5}$

$\hat{E}=\hat{N}$ (gt)

Do đó ΔDEF ᔕ ΔMNP (c.g.c)

Suy ra $\hat{F}=\hat{P}={42}^o$  (hai góc tương ứng).

Vậy  $\hat{F}={42}^o$.

Bài 6 trang 71 Toán 8 Tập 2: a) Cho tam giác ABC có AB = 12 cm, AC = 15 cm, BC = 18 cm. Trên cạnh AB, lấy điểm E sao cho AE = 10 cm. Trên cạnh AC, lấy điểm F sao cho AF = 8 cm (Hình 18a). Tính độ dài đoạn thẳng EF.

b) Trong Hình 18b, cho biết FD = FC, BC = 9 dm, DE = 12 dm, AC = 15 dm, MD = 20 dm. Chứng minh rằng ΔABC ᔕ ΔMED.

Lời giải:

a) Xét ΔAFE và ΔABC có:

$\frac{\mathrm{AF}}{\mathrm{AB}}=\frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{AC}}=\frac{2}{3}$

 $\hat{A}$ chung

Do đó ΔAFE ᔕ ΔABC (c.g.c)

Suy ra $\frac{\mathrm{AF}}{\mathrm{AB}}=\frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{AC}}=\frac{\mathrm{EF}}{\mathrm{BC}}$ (các cặp cạnh tương ứng).

Khi đó $\frac{8}{12}=\frac{10}{15}=\frac{\mathrm{EF}}{18}=\frac{2}{3}$  suy ra $\mathrm{EF}=\frac{18.2}{3}=12$  (cm).

Vậy EF = 12 cm.

b) Xét ΔABC và ΔMED ta có:

 $\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{ED}}=\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{MD}}=\frac{3}{4}$

 $\hat{C}=\hat{D}$ (tam giác FDC cân)

Vậy ΔABC ᔕ ΔMED (c.g.c).

Bài 7 trang 71 Toán 8 Tập 2: Trong Hình 19, cho biết MN // BC, MB // AC.

a) Chứng minh ΔBNM ᔕ ΔABC.

b) Tính $\hat{C}$.

Lời giải:

a) Xét ΔBNM và ΔABC ta có:

MN // BC nên $\widehat{\mathrm{MNB}}=\widehat{\mathrm{ABC}}$ (hai góc so le trong)

MB // AC nên $\widehat{\mathrm{MBN}}=\widehat{\mathrm{BAC}}$ (hai góc so le trong)

Vậy ΔBNM ᔕ ΔABC (g.g).

b) Do ΔBNM ᔕ ΔABC (cmt) nên $\hat{C}=\hat{M}=48°$ .

Giải Toán 8 trang 72 Tập 2

Bài 8 trang 72 Toán 8 Tập 2: a) Trong Hình 20a, cho biết  $\hat{N}=\hat{E},\hat{M}=\hat{D}$, MP = 18 m, DF = 24 m, EF = 32 m, NP = a + 3 (m). Tìm a.

b) Cho ABCD là hình thang (AB // CD) (Hình 20b).

Chứng minh rằng ΔAMB ᔕ ΔCMD. Tìm x, y.

Lời giải:

a) Xét ΔMNP và ΔDEF có:

$\hat{N}=\hat{E},\hat{M}=\hat{D}$

Do đó ΔMNP ᔕ ΔDEF (g.g)

Suy ra $\frac{\mathrm{NP}}{\mathrm{EF}}=\frac{\mathrm{MP}}{\mathrm{DF}}$ (các cạnh tương ứng).

Khi đó $\frac{a+3}{32}=\frac{18}{24}=\frac{3}{4}$ nên $a+3=\frac{32.3}{4}=24$ (cm).

Vậy a = 24 – 3 = 21.

b) Xét hình thang ABCD (AB // CD):

Vì AB // CD nên  $\widehat{\mathrm{MAB}}=\widehat{\mathrm{MCD}},\widehat{\mathrm{MBA}}=\widehat{\mathrm{MDC}}$ (cặp góc so le trong).

Xét ΔAMB và ΔCMD có:

$\widehat{\mathrm{MAB}}=\widehat{\mathrm{MCD}}$ (chứng minh trên)

$\widehat{\mathrm{MBA}}=\widehat{\mathrm{MDC}}$ (chứng minh trên)

Do đó ΔAMB ᔕ ΔCMD (g.g)

Suy ra  $\frac{\mathrm{AM}}{\mathrm{CM}}=\frac{\mathrm{MB}}{\mathrm{MD}}=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{CD}}$ (các cặp cạnh tương ứng).

Khi đó $\frac{6}{15}=\frac{y}{10}=\frac{8}{x}$ .

Suy ra $x=\frac{15.8}{6}=20;y=\frac{6.10}{15}=4$ .

Vậy x = 20; y = 4.

Bài 9 trang 72 Toán 8 Tập 2: a) Trong Hình 21a, cho biết  $\widehat{\mathrm{HOP}}=\widehat{\mathrm{HPE}},\widehat{\mathrm{HPO}}=\widehat{\mathrm{HEP}}$, OH = 6 cm và HE = 4 cm. Tính độ dài đoạn thẳng HP.

b) Trong Hình 21b, cho biết  $\widehat{\mathrm{AME}}=\widehat{\mathrm{AFM}}$. Chứng minh rằng AM2 = AE.AF.

Lời giải:

a) Xét ΔHOP và ΔHPE có: 

$\widehat{\mathrm{HOP}}=\widehat{\mathrm{HPE}}$ (gt)

$\widehat{\mathrm{HPO}}=\widehat{\mathrm{HEP}}$ (gt)

Do đó ΔHOP ᔕ ΔHPE (g.g)

Suy ra $\frac{\mathrm{HO}}{\mathrm{HP}}=\frac{\mathrm{HP}}{\mathrm{HE}}$ (các cặp cạnh tương ứng).

Khi đó $\frac{6}{\mathrm{HP}}=\frac{\mathrm{HP}}{4}$ nên HP = 6.4 = 24.

Vậy $\mathrm{HP}=2\sqrt{6}$  cm.

b) Xét ΔAEM và ΔAMF ta có:

$\hat{A}$ chung

$\widehat{\mathrm{AME}}=\widehat{\mathrm{AFM}}$

Do đó ΔAEM ᔕ ΔAMF (g.g)

Suy ra  $\frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{AM}}=\frac{\mathrm{AM}}{\mathrm{AF}}$ nên AM2 = AE.AF (đpcm).

Bài 10 trang 72 Toán 8 Tập 2: Đường đi và khoảng cách từ nhà anh Thanh (điểm M) đến công ty (điểm N) được thể hiện trong Hình 22. Hãy tìm con đường ngắn nhất để đi từ nhà của anh Thanh đến công ty.

Lời giải:

Xét ΔIAB và ΔICD ta có:

$\hat{B}=\hat{D}$ (gt)

$\widehat{\mathrm{AIB}}=\widehat{\mathrm{CID}}$ (đối đỉnh)

Suy ra ΔIAB ᔕ ΔICD (g.g) nên $\frac{\mathrm{IA}}{\mathrm{TC}}=\frac{\mathrm{IB}}{\mathrm{ID}}=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{CD}}$

$\frac{\mathrm{IA}}{2,4}=\frac{7,8}{\mathrm{ID}}=\frac{9}{3}=3$ ⇒ IA = 7,2; ID = 2,6

Quãng đường đi từ M → A → I là: 4,73 + 7,2 = 11,93 (km)

Quãng đường đi từ M → B → I là: 4,27 + 7,8 = 12,07 (km)

Quãng đường đi từ I → C → N là: 2,4 + 1,84 = 4,24 (km)

Quãng đường đi từ I → D → N là: 2,6 + 1,16 = 3,76 (km)

Vậy quãng đường ngắn nhất để đi từ nhà của anh Thanh đến công ty là M → A → I → D → N với độ dài 15,69 km.