MỘT SỐ LƯU Ý TÍNH NHANH CÁC GIÁ TRỊ BIỂU THỨC :
Trong một số trường hợp , học sinh cần
biết cách vận dụng tính chất của các phép tính để tính nhanh giá trị của các biểu
thức.
Dùng tính chất giao
hoán và kết hợp của phép cộng.
= $\underbrace {4,6 + 5,4}_{10}$ + $\underbrace {7,25 – 1,75}_{5,5}$
= 10 + 5,5
= 15,5
Dùng tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng (quy tắc nhân một số với một tổng)
Ví dụ 2: 7,42 . 8,67 + 7,42 . 1,33
= 7,42 x $\underbrace {(8,67 + 1,33) }_{10} $ = 7,42 . 10
= 74,2
Dùng tính chất giao hoán và kết hợp của phép nhân .
Ví dụ 3: 18 . 25 . 3 . 4 = $\underbrace {18 . 3}_{54} \times \underbrace {25 . 4}_{100}$ = 54 . 100
= 5400
Dùng quy tắc chia một số cho một tích.
Ví dụ 4: 2424 : 6
: 4
= 2424 : (6 x 4)
= 2424 : 24
= 101
1/ Những kiến thức cơ bản cần nhớ.
a/ Tính giao hoán.
-
Tổng (tích) không thay đổi khi ta đổi chỗ các số hạng(thừa số)
a + b =
b + a
và a x b = b x a
Chú
ý:
-
Bài toán chỉ có cộng trừ hay chỉ có nhân, chia ta thay đổi vị trí tuỳ ý, nhớ
kèm theo dấu của chúng.
-
Bài toán có phép cộng, trừ lẫn lộn với nhân, chia. Muốn giao hoán phải phân cụm
để đưa về bài toán chỉ có công, trừ hay chỉ có nhận, chia giữa các cụm. Khi
giao hoán phải giao hoán cả cụm.
b/ Tính kết hợp:
Trong
phép tính chỉ có cộng, trừ hoặc chỉ có nhân, chia ta đặt dấu ngoặc để nhóm các số hạng, thừa số một cách
tuỳ ý nhưng chú ý nếu trước dấu ngoặc là dấu trừ hoặc dấu chia thì phải đổi dấu
các số hạng, thừa số trong ngoặc:
(a + b) + c = a + (b + c)
(a + b) - c = a + (b
- c) = (a - c) + b
a - (b + c) = a - b - c
(a x b) x c = a x (b x c)
( a x b) : c = a x (b : c) = (a : c) x b
a : (b x c) = a : b : c
c/ Tính phân phối:
Chỉ
dùng cho phép nhân hay phép chia.
a
x (b + c) = a x b + a x c
a
x (b - c) = a x b - a x c
(a
+ b) : c = a : c + b : c
(a
- b) : c = a : c - b : c
d/ Các tính chất khác:
*
Phép tính với số không (0)
-
Phép nhân : a x o = o x a = o
-
Phép chia: o : a = o
-
Phép cộng; a + o = o + a = a
-
Phép trừ; a - o = a
*
Phép nhân, chia với 1.
-
Phép nhân: a x 1 = 1 x a = a
-
Phép chia: a : 1 = a; a : a = 1
- Một số trừ cho một hiệu: a - (b - c) = a - b + c
- Một số chia cho một thương: a : (b : c) = a : b x c
2- Các dạng toán tính nhanh thường gặp.
Sau
khi giáo viên đưa ra những lý thuyết cơ bản cần cho việc giải loại toán này thì
tiến hành phân dạng. Bên cạnh những kiến thức chung đó thì mỗi dạng lại có cái
riêng của nó.
Dạng 1 : Tính chất giao hoán và kết
hợp:
Đây
là dạng toán đơn giản, học sinh chủ yếu áp dụng kiến thức cơ bản đã học trong
chương trình sách giáo khoa. Nhưng cần chú ý trường hợp giao hoán cả cụm phép
tính và dấu phép tính không được đổi.
Ví
dụ:
a/ 50 x 38 : 5 : 19
b/
25 x 4 + 25 : 5 - 4 x (30 - 5) - 5
Hướng dẫn giải:
a/ 50 x 38 : 5 : 19 = $\underbrace{(50 : 5)}_{10}$ $\times$ $\underbrace{(38 : 19)}_{2}$
=
10 x 2
=
20
b/ Phải phân cụm
theo nguyên tắc nhóm những số và những ngoặc đơn nhân chia với nhau:
25
x 4 + 25 : 5 - 4 x (30 - 5) - 5
= (25 x 4) + (25 : 5) - 4 x (30 -
5) - 5
= (25 x 4) - 4 x (30 - 5) + (25 : 5) - 5
= $\underbrace{ (25 . 4) - 25 . 4}_{0}$ $\times$ $\underbrace{ 5 - 5}_{0}$
= 0 + 0
= 0
Với
dạng toán này giáo viên cần hướng dẫn cho học sinh quan sát tìm những số nào để
giao hoán, kết hợp với nhau tạo ra một phép tính có thể nhẩm được trong óc mà
không phải đặt tính bằng bút. Chú ý cách phân cụm sao cho chính xác.
Dạng 2: Tính phân phối (đặt thừa số
chung)
Tính
chất này chỉ có trong phép nhân, chia không có với phép cộng, trừ.
Phương
pháp giải dạng toán này như sau:
* Loại 1:
-
Quan sát trong các tích, các thương xem có thừa số nào chung hoặc dựa vào dấu
hiệu bài toán tìm thừa số chung.
-
Đưa thừa số chung ra ngoài còn lại các số và phép tính đi kèm đưa vào trong ngoặc.
-
Thực hiện phép tích trong ngoặc trước rồi làm phép tính với thừa số chung để rồi
tìm ra kết quả.
Ví dụ:
27 x 38 + 62 x 27 - 27 x 90
=
27 x (38 + 62 - 90)
=
27 x 10
=
270
* Loại 2: Lấy lần
lượt từng số hạng trong tổng hoặc hiệu nhân hay chia với thừa số chung. Sau đó
cộng hoặc trừ các kết quả đó với nhau tìm ra kết quả của phép tính.
Ví
dụ:
(99 + 66) : 33 = 99 : 33 + 66 : 33
= 3 + 2
= 5
+ Một số chú ý:
-
Phép tính có tính khuyết thừa số 1 thì khi đưa thừa số chung ra ngoài phải chú
ý thừa số 1 còn lại trong ngoặc.
-
Quan sát kỹ để không nhầm lẫn giữa các tính chất.
Dạng 3: Dấu hiệu chia hết
* Trước hết cho
học sinh nhắc lại nội dung cơ bản của dấu hiệu chia hết đối với những số thường
gặp như: Dấu hiệu chia hết cho 2, 5, 3, 9, 4, 8.
* Phương phát giải loại toán này.
-
Quan sát xem tích của tử và tích của mẫu có cặp số nào cùng chi hết cho một số
thì ta rút gọn.
-
Rút gọn một lần chưa hết ta rút gọn cho lần 2.
-
Sau khi rút gọn xong thì tính tích những thừa số còn lại của tử và mẫu để tìm
ra kết quả:
Ví dụ:
$\frac{1 . 2 . 3 . 4}{5 . 6 . 7 . 8}$ = $\frac{1 . 1 . 1 . 1}{5 . 2 . 7 . 1}$ =$\frac{1}{70}$
Giáo
viên cần cung cấp cho học sinh một số tính chất cơ bản sau:
-
Trong một tổng nếu ta thêm vào số hạng này bao nhiêu đơn vị và bớt ở số hạng
kia bấy nhiêu đơn vị thì tổng không thay đổi:
a + b = (a - m) + (b + m)
-
Khi cùng thêm hoặc cùng bớt một số đơn vị như nhau ở cả số trừ và số bị trừ thì
hiệu số không thay đổi:
a - b = (a - m) - (b - m)
-
Trong phép chia nếu ta cùng tăng hoặc cùng giảm số bị chia và số chia cùng một
số lần thì thương không thay đổi:
a : b = (a : m) : (b : m)
Ví dụ:
1, 25 x 16,84
= (1,25 x 4) x (16,84
: 4)
= 5 x 4,21
= 21,05
Dạng 5: Cặp số đặc biệt:
* Giáo viên nêu cho học sinh một số cặp
số đặc biệt yêu cầu học sinh học gần như học thuộc lòng.
- Vận dụng nhân nhẩm với 10, 100, 1000..., 0,1; 0,01. . . Để tìm cặp số đặc
biệt khác.
-
Cung cấp cho học sinh một số tính chất nhân nhẩm sau để học sinh tìm ra cặp số
đặc biệt:
a x 0,5 = a : 2
a x 2,5 = a x 10 : 4
a : 0,25 = a x 4
* Đối với dạng toán này có thể phân ra
hai loại và có phương pháp giải như sau:
+ Loại 1: Cặp số đặc biết có kết quả là 1,
10 , 100 . . .
-
Quan sát tìm ra những số cùng phép tính để có thể tạo thành cặp đặc biệt thì
nhóm lại với nhau.
-
Tìm kết quả của cặp đặc biệt trước rồi mới tính kết quả của biểu thức.
Ví dụ: 2 x 3 x 4 x 8 x 50 x 25 x 125
= (2 x 50) x (4 x 25) x (8 x 125) x 3
=
100 x 100
x 1000 x 3
= 30 000 000
+ Loại 2: Chữ số được lặp
lại.
Ví dụ: $\overline{ ababab }$; $\overline{ abcabcabc }$
Đối với
loại này ta tiến hành như sau:
-
Tìm ra chữ số hoặc cặp chữ số (tử và mẫu) được lập lại.
-
Lấy số đó chia cho cặp chữ số hoặc chữ số lặp lại để tìm thương.
-
Phân tích số thành tích của chữ số hay cặp chữ số lặp lại và thương vừa tìm được.
- Vận dụng
tính chất phép tính tìm kết quả biểu thức:
Ví dụ:
252525 x 4
= 25 x 10101 x 4
= 25 x 4 x 10101
= 100 x 10101
= 1010100
-
Sau khi giải một số bài tập giáo viên rút ra cho học sinh mẹo phân tích số
thành tích cho loại toán này như sau:
.
Quan sát tìm cặp chữ số hay chữ số được lặp lại
.
Đếm xem có bao nhiêu chữ số hoạc cặp chữ số lặp lại thì có thể phân tích số đó
thành tích của chữ số hoặc cặp chữ số lặp lại với bấy nhiêu cặp 01; 001 ; 0001.
. .
Dạng 6: Qui luật dẫy số đặc biệt
+
Trước hết giáo viên hướng dẫn cách tìm qui luật
+
Giáo viên nêu một số qui luật thường gặp như :
-
Số hạng bất kỳ bằng số hạng liền trước nó
nhân với a
-
Số hạng bất kỳ bằng số hạng liền trước nó
cộng với a
-
Số hạng bất kỳ bằng số thứ tự của nó nhân với số thứ tự đó
-
Số hạng bất kỳ kể từ số hạng thứ 3 bằng tổng
hai số hạng trước nó
+
Giáo viên hướng dẫn học sinh phương pháp tính tổng.
Tổng = (Số lớn nhất + Số nhỏ nhất) $\times$ $\frac{ Số số hạng }{2}$
Dạng 7: Thành phần hay kết quả của biểu
thức bằng 0. Với dạng này giáo viên còn hướng dẫn học sinh như sau:
-
Quan sát biểu thức tìm ra những phép tính, nhóm phép tính có điểm đặc biệt (bằng
0)
-
Thực hiện phép tính, nhóm phép tính đó trước rồi tìm kết quả của biểu thức.
Ví dụ:
754 x 75 - 25 - 2262 + 4568
= 754 x 75 - 25 x 3 x 754 +4568
= 754 x 75 - 75 x 754 + 4568
=
0 + 4568
=
0
Dạng 8:
Thành
phần hay kết quả của biểu thức bằng 1.
-
Trước hết hướng dẫn học sinh quan sát tìn ra hoặc làm xuất hiện những số hay
phép tính giống nhau:
-
Áp dụng tính chất a : a = 1 để tìm ra kết quả của phép tính hay biểu thức.
Ví dụ 1:
(357
x 45 + 74 x 357 ) : 119
=
357 x (45 + 74) : 119
=
357 x 119 : 119
=
257 x 1
=
357
Ví dụ 2:
$\frac{1995}{1996 }$ $\times$ $\frac{19961996}{19931993}$ $\times$ $\frac{199319931993
}{199519951995}$
= $\frac{1995 . 1996 . 10001 . 1993 . 1000110001 }{1996 . 1993 . 10001 . 1995 . 1000110001}$
= 1
Dạng 9: Cấu tạo số.
Để
giải được dạng toán tính nhanh này giáo viên cần cung cấp cho học sinh 1 số kiến
thức về cấu tạo số như sau:
$\overline{ abc } $= a x 100 + b x 10 + c
= ab x $\overline{10 + c } $
= a 00 + $\overline{ b0 + c }$ = $\overline{ ab0}$ + $\overline{ c }$
Ví dụ 1:
1057 - 57 = 1000 + 57 - 57
= 1000 + 0
= 1000
Ví
dụ 2:
1125 x 44 = (1000 + 100 + 25) x (40 + 4)
= (1000 + 100 +
25) x 40 + (1000 + 100 + 25) x 4
= 1000 x 40 + 100 x 40 + 25 x 40 + 1000 x 4 +
100 x 4 + 25 x 4
= 40.000 + 4000 + 1000 + 4000 + 400 + 100
= 49500
Lưu ý: Tuỳ từng bài toán mà phân tích số theo cách
nào cho phù hợp và thuận tiện.
Dạng 10:
Hiệu / tích.
Giáo
viên cho học sinh biết Hiệu / tích là dạng phân số có tử số là hiệu 2 số và mẫu
số là tích 2 số.
Dạng
này ta có thể hướng dẫn học sinh giải theo 2 loại như sau:
* Loại 1: Phân số
có dạng Hiệu/ tích .
-
Hướng dẫn học sinh phát hiện tìm ra các phân số có dạng hiệu/tích.
-
Phân tích các số có dạng Hiệu/ tích thành hiệu 2 phân số có tử số là 1 và mẫu số
lần lượt là 2 thừa số của tích.
-
Áp dụng tích chất phép tính để tìm được kết quả cuối cùng là phân số đầu trừ
phân số cuối của biểu thức.
Ví
dụ: Tính nhanh.
$\frac{1}{1}$ $\times$ $\frac{1}{2}$ + $\frac{1}{2}$ $\times$ $\frac{1}{3}$ + $\frac{1}{3}$ $\times$ $\frac{1}{4}$ + $\frac{1}{4}$ $\times$ $\frac{1}{5}$ + $\frac{1}{5}$ $\times$ $\frac{1}{6}$
Ta
thấy:
$\frac{1}{1}$ $\times$ $\frac{1}{2}$ = $\frac{1}{2}$ =1 - $\frac{1}{2}$
Tương
tự:
$\frac{1}{2}$ $\times$ $\frac{1}{3}$ = $\frac{1}{6}$ = $\frac{3}{6}$ - $\frac{2}{3}$ - $\frac{1}{2}$ - $\frac{1}{3}$
…..
…..
$\frac{1}{5}$ $\times$ $\frac{1}{6}$ = $\frac{1}{5}$ - $\frac{1}{6}$
Vậy biểu thức đã
cho có thể viết là:
$\frac{1}{1}$ - $\frac{1}{2}$ + $\frac{1}{2}$ - $\frac{1}{3}$ + $\frac{1}{3}$ - $\frac{1}{4}$ + $\frac{1}{4}$ - $\frac{1}{5}$ + $\frac{1}{5}$ - $\frac{1}{6}$
= 1 + 0 + 0 +0 +0 - $\frac{1}{6}$
Loại 2: Tổng
các phân số có dạng hiệu/tích
Ví dụ:
$\frac{1}{2}$ + $\frac{1}{4}$ + $\frac{1}{8}$ + $\frac{1}{16}$ + $\frac{1}{32}$ + $\frac{1}{64}$ + $\frac{1}{128}$
Ta có:
$\frac{1}{2}$ = 1 - $\frac{1}{2}$; $\frac{1}{2}$ + $\frac{1}{4}$ = 1 - $\frac{1}{4}$
$\frac{1}{2}$ + $\frac{1}{4}$ + $\frac{1}{8}$ = $\frac{3}{4}$ + $\frac{1}{8}$ = $\frac{7}{8}$ = 1 - $\frac{1}{8}$
$\frac{1}{2}$ + $\frac{1}{4}$ + $\frac{1}{8}$ + $\frac{1}{16}$ = $\frac{7}{8}$ + $\frac{1}{16}$ = 1 - $\frac{1}{16}$
Tương tự:
$\frac{1}{2}$ + $\frac{1}{4}$ + $\frac{1}{8}$ + $\frac{1}{16}$ + $\frac{1}{32}$ + $\frac{1}{42}$ + $\frac{1}{128}$ = 1 - $\frac{1}{128}$ = $\frac{127}{128}$
Dạng 11: Dạng tổng hợp:
* Sau khi học
sinh nắm chắc các dạng toán cụ thể thì giáo viên đưa ra dạng toán tổng hợp tức
là kết hợp vài dạng toán trong một bài toán để học sinh thực hành.
Với
dạng toán này học sinh phải quan sát biểu thức tìm ra phép tính hay nhóm phép
tính này thuộc dạng nào thì áp dụng phương pháp giải cho thích hợp .
Ví dụ:
$\frac{(1+ 2 + 4 + 8 + 10 + . . . + 512) \times (101 x 102 - 101 x 101 - 50 - 51) }{2 + 4 + 8 + 16 + . . . + 1024 + 2048 }$
$\frac{ (1+ 2 + 4 + 8 + 10 + . . . + 512) \times (101 x 102 - 101 x 101- 101) }{2 + 4 + 8 + 16 + . . . + 1024 + 2048 }$
$\frac{ (1+ 2 + 4 + 8 + 10 + . . . + 512) \times 101 x (102 - 101 - 1) }{2 + 4 + 8 + 16 + . . . + 1024 + 2048 }$
$\frac{ (1+ 2 + 4 + 8 + 10 + . . . + 512) \times 101 x 0 }{2 + 4 + 8 + 16 + . . . + 1024 + 2048 }$
= 0
0 Comments:
Đăng nhận xét