1. Bài toán tính tổng dãy số là gì? 

Bài toán tính tổng dãy số là bài toán cho một dãy số gồm nhiều số hạng. Trước mỗi số hạng trong dãy có thể là dấu cộng hoặc dấu trừ, nên dãy số có thể chứa cả những số hạng mang dấu cộng và cả những số hạng mang dấu trừ.

Ví dụ:

Dãy số thứ nhất: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + ... + 99 + 100

Dãy số thứ hai: 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - ... - 100 + 101 

2. Công thức tính tổng dãy số cách đều 

2.1. Tính số số hạng của dãy

Số số hạng của dãy = (Số hạng cuối - Số hạng đầu) : Đơn vị khoảng cách + 1

Ví dụ: Dãy số 1 + 2 + 3 + 4 + ... + 99 + 100

Số số hạng của dãy số trên là:

(100 - 1) : 1 + 1 = 100 (số hạng)

Trong đó:

  • 100 là Số hạng cuối
  • 1 là Số hạng đầu
  • 1 là đơn vị khoảng cách giữa các số hạng của dãy 

2.2. Công thức tính tổng dãy số cách đều

Tổng của dãy số cách đều = (Số hạng đầu + Số hạng cuối) x Số số hạng của dãy : 2

Ví dụ: Dãy số 2 + 4 + 6 + ... + 48 + 50

Số số hạng của dãy số trên là:

(50 - 2) : 2 + 1 = 25 (số hạng)

Tổng của dãy số cách đều trên là:

( 2 + 50 ) x 25 : 2 = 650

Trong đó:

  • 2 là Số hạng đầu
  • 50 là Số hạng cuối
  • 25 là số số hạng của dãy 

2.3. Công thức tính số cuối dãy số cách đều

Số cuối dãy số cách đều = Số hạng đầu + (số số hạng - 1) x Đơn vị khoảng cách

Ví dụ: Dãy số 1 + 3 + 5 + 7 + ...  có 25 số hạng. Tìm số hạng cuối của dãy số trên?

Số hạng cuối của dãy số trên là: 

1 + ( 25 - 1) x 2 = 49

Trong đó:

  • 1 là số hạng đầu của dãy số
  • 25 là số số hạng của dãy số
  • 2 là đơn vị khoảng cách 

2.4. Công thức tính số đầu dãy số cách đều

Số đầu dãy số cách đều = số hạng cuối - (số số hạng - 1) x Đơn vị khoảng cách

Ví dụ:Tìm số hạng đầu tiên của dãy số cách đều biết dãy có 50 số hạng, số cuối bằng 100, khoảng cách giữa hai số liên tiếp trong dãy là 2 đơn vị.

Số hạng đầu của dãy số cách đều đó là:

100 - ( 50 - 1 ) x 2 = 2

Trong đó:

  • 100 là Số hạng cuối 
  • 50 là Số số hạng
  • 2 là Đơn vị khoảng cách 

2.5. Công thức tính trung bình cộng của dãy số các đều

Trung bình cộng của dãy số cách đều = Tổng của dãy số : Số số hạng

Ví dụ: Dãy số 1 + 2 + 3 + 4 + ... + 99 + 100

Số số hạng của dãy số trên là:

( 100 - 1) : 1 + 1 = 100 (số hạng)

Tổng của dãy số trên là:

( 1 + 100) x 100 : 2 = 5050

Trung bình cộng của dãy số trên là:

5050 : 100 = 50,5 

Trong đó:

  • 5050 là tổng của dãy số
  • 100 là số số hạng  

2.6. Chú ý

-  Đối với dạng bài toán tính tổng dãy số cách đều thì chúng ta cần tập trung xác định số hạng đầu, số hạng cuối và số số hạng của dãy số, hai số liên tiếp trong dãy số cách nhau bao nhiêu đơn vị (đơn vị khoảng cách)

- Trong bài toán có số số hạng là số lẻ thì số ở giữa bằng (số cuối + số đầu) : 2

- Tùy vào từng bài toán cụ thể và việc dãy số tăng dần hay giảm dần để áp dụng công thức một cách hợp lý. 

3. Công thức tính tổng dãy số không cách đều

Dãy số không cách đều là dãy số Fibonacci hoặc tribonacci. Dãy số có tổng ( hiệu) giữa hai số liên tiếp là một dãy số

Ví dụ: Tính A = 1 x 2 + 2 x 3 + 3 x 4+….+n x (n + 1)

Lời giải

3 x A = 1 x 2 x 3 + 2 x 3 x 3 + 3 x 4 x 3+…+n x (n + 1) x 3

      = 1 x 2 x (3 – 0) + 2 x 3 x (4 – 1) + 3 x 4 x (5 – 2)+….+n x (n + 1) x [(n + 2) – (n + 1)]

      = 1 x 2 x 3 + 2 x 3 x 4 – 1 x 2 x 3 + 3 x 4 x 5 – 2 x 3 x 4+….+n x (n + 1) x (n + 2) – (n – 1) x n x (n + 1)

      = n x (n + 1) x (n + 2)

=> A = n x (n + 1) x (n + 2) : 2 

4. Một số bài toán về tính tổng dãy số cách đều và không cách đều

4.1. Bài tập tính tổng dãy số cách đều

Bài tập 1: Tính giá trị của T biết: T = 2 + 3 + 4 + 5 +….+ 2015

Lời giải

Dãy số trên có số số hạng là: (2015 – 1) : 2 + 1 = 1008

Giá trị của T là: (2015 + 2) x 1008  : 2 = 1016568

Đáp số: 1016568

Bài tập 2: Tính tổng 40 số lẻ liên tiếp biết số lẻ lớn nhất trong dãy số là 2011?

Lời giải

Số hạng bé nhất trong dãy số đó là: 2011 – (40 – 1) x 2 =1933

Tổng của 40 số lẻ cần tìm là: (2011 + 1933) x 40 : 2 = 78880

Đáp số: 78880

Bài tập 3: Một khu phố có 25 nhà. Số nhà cuả 25 nhà đó được đánh là các số lẻ liên tiếp, biết tổng của 25 số nhà của dãy số đó bằng 1145. Hãy cho biết số nhà đầu tiên của khu phố đó là số bao nhiêu?

Lời giải

Hiệu giữa số nhà cuối và số nhà đầu tiên là: (25 – 1) x 2 = 48

Tổng của số nhà cuối và số nhà đầu là: 1145 x 2 : 25 = 91,6

Số nhà đầu tiên trong khu phố đó là: (91,6 – 48) : 2 = 21,8

Đáp số: 21,8 

4.2. Bài tập tính tổng dãy số không cách đều

Bài tập 1: Tính M = 1  x 2 x 3 + 2 x 3 x 4 +….+ (n – 1) x n x (n + 1)

Lời giải

4 x M = 1 x 2 x 3 x 4 + 2 x 3 x 4 x 4+ … + (n – 1) x n x (n + 1) x 4

      = 1 x 2 x 3 x (4 – 0) + 2 x 3 x 4 x (5 – 1)+….+ (n – 1) x n x (n + 1) x [(n + 2) – (n – 2)]

      = 1 x 2 x 3 x 4 + 2 x 3 x 4 x 5 – 1 x 2 x 3 x 4 +….+ (n – 1) x n x (n + 1) x (n + 2) – (n – 2) x (n – 1) x n x (n + 1)

      = (n – 1) x n x (n + 1) x (n + 2)

=> M = (n – 1) x n x (n + 1) x (n + 2) : 4

Bài tập 2: Tính N = 1.4 + 2.4 + 3.6 + 4.7+…+ n(n + 3)

Lời giải

Ta có: 1.4 = 1.(1 + 3) = 1.(1 + 1 + 2) = 1.(1 + 1) + 2.1

           2.5 = 2.(2 + 3) = 2.(2 + 1 + 2) = 2.(2 + 1) + 2.2

           3. 6 = 3.(3 + 3) = 3.(3 + 1 + 2) = 3.(3 + 1) + 2.3

           4.7  = 4.(4 + 3) = 4.(4 + 1 + 2) = 4.(4 + 1) + 2.4

          ……………………..

          N(n + 3) = n(n + 1) + 2n

Vậy N = 1.2 + 2.1 + 2.3 + 2.2 + 3.4 + 2.3+ … + n(n + 1) + 2n

            = 1.2 + 2 + 2.3 + 4 + 3.4 + 6 + ….. + n(n + 1) + 2n

            = [1.2 + 2.3 + 3.4 + …. + n(n + 1) + (2 + 4 + 6 +… + 2n)

Mà 1.2 + 2.3 + 3.4+ …. + n(n + 1) = n(n+1)(n+2)/3

2 + 4 + 6 + ... + 2n = (2n + 2)n/2

=> N =  n(n + 1)(n + 2)/3 + (2n + 2)n/2 = n(n + 1 )(n + 5)/3