C2_Bài 4. Phép nhân và phép chia hai số nguyên

 

I. Nhân hai số nguyên

1.Nhân hai số nguyên khác dấu

Để nhân hai số nguyên khác dấu, ta làm như sau:

Bước 1: Bỏ dấu “-” trước số nguyên âm, giữ nguyên số còn lại

Bước 2: Tính tích của hai số nguyên dương nhận được ở Bước 1

Bước 3: Thêm dấu “-” trước kết quả nhận được ở Bước 2, ta có kết quả cần tìm.

Nhận xét: Tích của hai số nguyên khác dấu là số nguyên âm.

Chú ý:

Cho hai số nguyên dương $a$ và $b$, ta có:

$\left(+a\right).\left(-b\right)=-a.b$

$\left(-a\right).\left(+b\right)=-a.b$

Ví dụ:

a) $(-20).5=-\left(20.5\right)=-100.$

b) $15.\left(-10\right)=-\left(15.10\right)=-150.$

c) $20.\left(+50\right)+4.\left(-40\right)=1000-\left(4.40\right)=1000-160=840.$

2.Nhân hai số nguyên cùng dấu

Để nhân hai số nguyên âm, ta làm như sau:

Để nhân hai số nguyên âm, ta làm như sau:

Bước 1: Bỏ dấu “-” trước mỗi số

Bước 2: Tính tích của hai số nguyên dương nhận được ở Bước 1, ta có tích cần tìm.

Nhận xét:

- Khi nhân hai số nguyên dương, ta nhân chúng như nhân hai số tự nhiên.

- Tích của hai số nguyên cùng dấu là số nguyên dương.

Chú ý:

Cho hai số nguyên dương $a$ và $b$, ta có:

$\left(-a\right).\left(-b\right)=(+a).(+a)=a.b$

$\left(-a\right).\left(+b\right)=-a.b$

Ví dụ:

a) $(-4).(-15)=4.15=60$

b) $\left(+2\right).(+5)=2.5=10$.

II. Tính chất của phép nhân các số nguyên

Phép nhân các số nguyên có các tính chất:

+) Giao hoán: $a.b=b.a$

+) Kết hợp: $a\left(bc\right)=\left(ab\right)c$

+) Phân phối đối với phép cộng: $a\left(b+c\right)=ab+ac$

+) Phân phối đối với phép trừ: $a\left(b-c\right)=ab-ac$

Nhận xét:

Trong một tích nhiều thừa số ta có thể:

- Đổi chỗ hai thừa số tùy ý.

- Dùng dấu ngoặc để nhóm các thừa số một cách tùy ý:

Chú ý:

+) $a.1=1.a=a$

+) $a.0=0.a=0$

+) Cho hai số nguyên $x,y$:

Nếu $x.y=0$ thì $x=0$ hoặc $y=0$.

Ví dụ 1:

a) $\left(-3\right).5=5.\left(-3\right)=-15$

b) $\left[\left(-2\right).7\right].\left(-3\right)=\left(-2\right).\left[7.\left(-3\right)\right]=\left(-2\right).\left(-21\right)=42$

c) $\left(-5\right).12+\left(-5\right).88=\left(-5\right).\left(12+88\right)=\left(-5\right).100=-500$.

d) $\left(-9\right).36-(-9).26=\left(-9\right).\left(36-26\right)=\left(-9\right).10=-90$

Ví dụ 2:

Nếu $\left(x-1\right)\left(x+5\right)=0$ thì $x-1=0$ hoặc $x+5=0$.

Suy ra $x=1$ hoặc $x=-5$.

III. Quan hệ chia hết và phép chia hết trong tập hợp số nguyên

1.Phép chia hết

Cho $a,b\in Z$ và $b\ne 0$. Nếu có số nguyên $q$ sao cho $a=bq$ thì:

 Ta nói $a$ chia hết cho $b$, kí hiệu là $a⋮b$.

Ta gọi $q$ là thương của phép chia $a$ cho $b$, kí hiệu $a:b=q$.

Ví dụ:

$(-15)=3.(-5)$ nên ta nói:

+) $-15$ chia hết cho $(-5)$

+) $-15:(-5)=3$

+) $3$ là thương của phép chia $-15$ cho $-5$.

2.Phép chia hai số nguyên khác dấu

Để chia hai số nguyên khác dấu ta làm như sau:

Bước 1: Bỏ dấu “-” trước số nguyên âm, giữ nguyên số còn lại

Bước 2: Tính thương của hai số nguyên dương nhận được ở Bước 1

Bước 3: Thêm dấu “-” trước kết quả nhận được ở Bước 2, ta có thương cần tìm.

Ví dụ:

1. a) $(-27):3=-\left(27:3\right)=-9$.
2. b) $36:\left(-9\right)=-\left(36:9\right)=-4$

3. Phép chia hết hai số nguyên cùng dấu

Để chia hai số nguyên âm ta làm như sau:

Bước 1: Bỏ dấu “-” trước mỗi số.

Bước 2: Tính thương của hai số nguyên dương nhận được ở Bước 1, ta có thương cần tìm.

Nhận xét: Phép chia hai số nguyên dương chính là phép chia hai số tự nhiên.

Nhận xét: Phép chia hai số nguyên dương chính là phép chia hai số tự nhiên.

Chú ý:

Cách nhận biết dấu của thương:

$\begin{array}{c}(+):(+)=(+)\\ (-):(-)=(+)\\ (-):(+)=(-)\\ (+):(-)=(-)\end{array}$

Ví dụ:

1. a) $(-36):(-4)=36:4=9$
2. b) $\left(-35\right):(-7)=35:7=5$.

IV. Bội và ước của một số nguyên

Cho $a,b\in Z$. Nếu $a⋮b$ thì ta nói $a$ là bội của $b$ và $b$ là ước của $a$.

Nhận xét:

- Nếu $a$ là bội của $b$ thì $-a$ cũng là bội của $b$.

- Nếu $b$ là ước của $a$ thì $-b$ cũng là ước của $a$.

Chú ý: Khi $c$ vừa là ước của $a$, vừa là ước của $b$ thì $c$ được gọi là ước chung của $a$ và $b$.

Kí hiệu ước chung của hai số nguyên $a,b$ là ƯC(a, b).

Ví dụ 1:

a) $5$ là một ước của $-30$ vì $\left(-30\right)⋮5$.

b) $-42$ là một bội của $-7$ vì $\left(-42\right)⋮\left(-7\right)$.

Ví dụ 2:

a) Các ước của 4 là: $1;-1;2;-2;4;-4$.

b) Các bội của 8 là: $0;8;-8;16;-16;...$

Ví dụ 3:

Ta thấy $1;-1;2;-2$ vừa là ước của $6$, vừa là ước của $4$ nên chúng gọi là ước chung của $6$ và $4$.

Khi đó ta viết: ƯC(6; 4)={1;-1;2;-2}.